Liczba Liouville’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Liczba Liouville'a)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba Liouville'a – jest to liczba rzeczywista x o tej własności, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieją liczby całkowite p oraz q > 1, takie że:

Intuicyjnie oznacza to, że dowolną liczbę Liouville'a można "dobrze" aproksymować liczbami wymiernymi. Liczby Liouville'a noszą swą nazwę na cześć Josepha Liouville'a, który wprowadził je w roku 1844 i pokazał, że są one liczbami przestępnymi. Był to pierwszy dowód istnienia liczb przestępnych, co więcej konstruktywny, czyli podający algorytm ich uzyskiwania.

Przykłady. Stała Liouville'a[edytuj]

Liczby postaci

, gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 1

są liczbami Liouville'a. Dla dowodu określmy pn i qn następująco:

.

Wówczas dla wszystkich n naturalnych

co spełnia warunki definicji.

Liczba

nosi nazwę stałej Liouville'a.

Podstawowe własności[edytuj]

Równoważną definicję liczby Liouville'a otrzymamy przyjmując, że dla dowolnego n istnieje nieskończenie wiele par liczb całkowitych (p, q), dla których spełniona jest powyższa nierówność.

Niewymierność liczb Liouville'a[edytuj]

Nietrudno wykazać, że jeśli x jest liczbą Liouville'a, to jest liczbą niewymierną. Gdyby tak nie było, istniałyby liczby całkowite c i d, dla których mielibyśmy x = c/d. Niech n oznacza taką liczbę naturalną, że 2n−1 > d. Wówczas, jeśli p i q są dowolnymi liczbami całkowitymi, takimi że q > 1 i p/qc/d, to

co jest sprzeczne z określeniem liczby Liouville'a.

Własności miarowe zbióru liczb Liouville'a[edytuj]

Wykażemy, że zbiór L liczb Liouville'a jest miary zero Lebesgue'a. Dowód przedstawiony poniżej jest oparty na rozumowaniu, które podał Oxtoby[1]. Dla liczb naturalnych oraz połóżmy:

.

Zauważmy, że dla każdych liczb naturalnych n i m mamy

.

Oczywiście, . Pamiętając że , można również wykazać, że

.

Ponieważ , to teraz łatwo wnioskujemy, że dla każdej liczby naturalnej m przekrój jest miary Lebesgue'a zero, a zatem i jest miary zero. Czyli z miarowego punktu widzenia, prawie żadna liczba rzeczywista nie jest liczbą Liouville'a.

Własności topologiczne zbióru liczb Liouville'a[edytuj]

Dla liczby naturalnej n połóżmy:

.

Każdy ze zbiorów jest otwartym gęstym podzbiorem prostej (zauważmy, że zawiera wszystkie liczby wymierne). Ponadto , zatem L jest gęstym zbiorem typu Gδ, a stąd jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii. Czyli, z topologicznego punktu widzenia, prawie każda liczba rzeczywista jest liczbą Liouville'a.

Stopień niewymierności[edytuj]

Istnieje prosta metoda pozwalająca zmierzyć "jak bardzo" niewymierna jest dana liczba. Polega ona na badanie dokładności aproksymacji liczby x za pomocą liczb wymiernych.

Stopniem niewymierności nazywamy kres górny zbioru liczb rzeczywistych μ o tej własności, że nierówność

zachodzi dla nieskończenie wielu par (p, q), gdzie q > 0.

Wszystkie liczby Liouville'a i tylko one mają nieskończony stopień niewymierności.

Liczby Liouville'a jako liczby przestępne[edytuj]

Poniżej wykażemy, że każda liczba Liouville'a jest przestępna. Jednak nie każda liczba przestępna jest liczbą Liouville'a – ponieważ zbiór liczb Liouville'a jest zbiorem miary zero Lebesgue'a, to istnieje nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych, które nie są liczbami Liouville'a. Okazuje się, że liczbami Liouville'a nie są również liczby e oraz π.

Punktem kluczowym dowodu jest obserwacja, że liczba algebraiczna, która jest niewymierna, nie daje się w pewnym sensie "dobrze" aproksymować liczbami wymiernymi. Poniższy lemat należący do Liouville'a nazywany jest również często twierdzeniem Liouville'a o aproksymacji diofantycznej.

Lemat: Jeśli α jest liczbą niewymierną, która jest pierwiastkiem wielomianu f stopnia n > 0 o współczynnikach całkowitych, to istnieje liczba rzeczywista A > 0 taka, że dla dowolnych liczb całkowitych p oraz q > 0 zachodzi |α − p/q| > A/qn.

Dowód lematu: Niech M oznacza największą wartość modułu pochodnej |f '(x)| wielomianu f w przedziale [α − 1, α + 1]. Niech α1, α2,... ,αm będą różnymi pierwiastkami wielomianu f, które są różne od α. Wybierzmy taką liczbę A > 0, która spełnia warunek:

Przypuśćmy, że istnieją takie liczby całkowite p, q, dla których nierówność podana w tezie lematu nie zachodzi. Oznacza to, że

Wówczas p/q leży w przedziale [α − 1, α + 1] oraz p/q nie jest żadną z liczb {α1, α2,... , αm}. Zatem p/q nie jest też pierwiastkiem f, a ponadto żaden pierwiastek f nie leży pomiędzy α i p/q.

Na mocy twierdzenia o wartości średniej pomiędzy p/q i α istnieje taka liczba x0, że

Ponieważ α jest pierwiastkiem f, a p/q nie, zatem |f '(x0)| > 0 i:

Ponieważ f jest postaci , gdzie każde ci jest całkowite, |f(p/q)| można zapisać jako

Ostatnia nierówność zachodzi, gdyż p/q nie jest pierwiastkiem wielomianu f, a ci są liczbami całkowitymi.

Zatem, |f(p/q)| ≥ 1/qn, a skoro |f '(x0)| ≤ M na mocy określenia liczby M i 1/M > A z definicji A, otrzymujemy stąd sprzeczność:

Wynika stąd, że nie istnieją liczby p i q o takich własnościach, co dowodzi lematu.

Dowód stwierdzenia: Niech x będzie liczbą Liouville'a, wiemy już, że x jest liczbą niewymierną. Gdyby x była liczbą algebraiczną, na mocy lematu istniałyby liczby naturalna n i rzeczywista dodatnia A, takie że dla dowolnych całkowitych p i q:

Niech r będzie taką liczbą naturalną, że 1/(2r) ≤ A. Jeśli położyć m = r + n, to – ponieważ x jest liczbą Liouville'a – znajdziemy liczby całkowite a, b > 1 i takie, że

co stoi w sprzeczności z lematem. Stąd x nie jest algebraiczna, a zatem jest przestępna.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Oxtoby, John C. Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980, strona 8. ISBN 0-387-90508-1

Linki zewnętrzne[edytuj]