Ruch jednostajny prostoliniowy

Wykresy kolejno: drogi, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu w ruchu jednostajnym prostoliniowym przy założeniu, że położenie w chwili początkowej opisuje liczba 0.

Ruch jednostajny prostoliniowy – ruch jednostajny po torze prostoliniowym, czyli ruch odbywający się wzdłuż prostej ze stałą prędkością. Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona ciało porusza się po torze prostoliniowym (lub pozostaje w spoczynku), jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą.

W ruchu jednostajnym prostoliniowym wektor prędkości jest stały, co oznacza, że jego kierunek (i zwrot) nie zależą od czasu; w związku z tym szybkość, czyli wartość bezwzględna prędkości, również jest stała. Oznacza to, że przyspieszenie jest równe zeru, a prędkość średnia równa jest prędkości chwilowej. Ponadto wartość bezwzględna przemieszczenia (zmiany położenia) jest równa drodze pokonanej przez ciało.

Opis

Ponieważ prędkość w ruchu jednostajnym nie zależy od czasu, tzn. zmiana położenia w równych odstępach czasu jest stała,

$\mathbf {v} _{t}=\mathbf {v} =\mathrm {const} ,$

czyli droga zależy wprost proporcjonalnie od czasu:

$\Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})=\mathbf {v} \Delta t,$

gdzie $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ jest odcinkiem czasu, w którym ciało przemieściło się o $\Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}},$ czyli pokonało drogę

$\Delta s_{t}=s_{t_{2}}-s_{t_{1}}=|\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}|=|\Delta \mathrm {x} _{t}|=|\mathbf {v} |\Delta t=v(t_{2}-t_{1}),$

gdzie $v=|\mathbf {v} |$ to szybkość. Oznacza to, że po czasie $t_{2}$ ciało znajduje się w położeniu

$\mathrm {x} _{t_{2}}=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})+\mathrm {x} _{t_{1}}.$

Podstawiając $t=t_{2}$ oraz $t_{1}=0,$ równanie ruchu przyjmuje postać

$\mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},$

a przebyta droga wyraża się wzorem

$s_{t}=|\mathrm {x} _{t}|=vt+s_{0},$

gdzie $t$ jest parametrem czasowym, $\mathrm {x} _{0}$ oznacza początkowe położenie ciała, $s_{0}$ oznacza drogę pokonaną przez ciało do tej pory (zwykle przyjmuje się, że jest ona równa zeru), zaś $\mathbf {v}$ oraz $v$ to stałe odpowiednio prędkość i szybkość.

Jeżeli ruch opisany jest za pomocą położenia $\mathrm {x}$ względem czasu $t$ za pomocą funkcja (całkowalnej) $\mathrm {x} _{t},$ to droga jest równa długości krzywej przez nią wyznaczanej. Ponieważ prędkość jest pochodną drogi względem czasu,

$\mathbf {v} _{t}={\frac {\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}}{\operatorname {d} t}},$

to przy oznaczeniach jw. przemieszczenie można wówczas wyrazić całką oznaczoną

$\Delta \mathrm {x} _{t}=\mathrm {x} _{t_{2}}-\mathrm {x} _{t_{1}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {v} \operatorname {d} t=\mathbf {v} (t_{2}-t_{1})$

przy czym prędkość jako stałą $\mathbf {v}$ względem czasu można wyłączyć ją przed całkę. Dla $t=t_{2}$ oraz $t_{1}=0$ jest

$\mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0}.$

Droga to długość krzywej, tzn.

$\Delta s_{t}=s_{t_{2}}-s_{t_{1}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|\operatorname {d} \mathrm {x} _{t}|=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}|\mathbf {v} |\operatorname {d} t=v(t_{2}-t_{1}),$

czyli dla $t=t_{2}$ oraz $t_{1}=0$ jest

$s_{t}=vt+s_{0}.$