Sympleks (matematyka)

Przykład 3-sympleksu

Sympleks – uogólnienie odcinka, trójkąta i czworościanu na dowolne wymiary. Intuicyjnie, $k$-wymiarowym sympleksem nazywamy $k$-wymiarowy wielościan, który jest wypukłą otoczką swoich $k+1$ wierzchołków.

Definicja w przestrzeni liniowej

Niech $k\leqslant n.$

Niech $x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}$ będą wektorami $n$-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej i niech każde $n$ różnych wektorów spośród nich tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$-wymiarowym $S$ o $k+1$ wierzchołkach $x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}$ jest zbiór wektorów:

$S=\{r_{0}x_{0}+r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots +r_{k}x_{k}\ \ :\ \ r_{0},r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\geqslant 0\ \ \wedge \ \ r_{0}+r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{k}=1\}.$

Równoważnie:

Niech $k\leqslant n.$

Niech $x,x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}$ będą wektorami $n$-wymiarowej rzeczywistej przestrzeni liniowej i niech wektory $x_{1},\dots ,x_{k}$ tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$-wymiarowym $S$ jest zbiór wektorów:

$S=\{x+r_{1}x_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots +r_{k}x_{k}\ \ :\ \ r_{1},r_{2},\dots ,r_{k}\geqslant 0\ \ \wedge \ \ r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{k}\leqslant 1\}.$

Układ $k+1$ wektorów $x,x+x_{1},x+x_{2},\dots ,x+x_{k}$ tworzy wierzchołki sympleksu $S.$

Definicja w przestrzeni afinicznej

Niech $k\leqslant n.$

Niech $p,p_{0},\dots ,p_{k}$ będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej $n$-wymiarowej i niech każde $n$ różnych wektorów spośród ${\overrightarrow {pp_{0}}},{\overrightarrow {pp_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {pp_{k}}}$ tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$-wymiarowym $S$ o $k+1$ wierzchołkach $p_{0},\dots ,p_{k}$ jest zbiór punktów:

$S=\{p+r_{0}\cdot {\overrightarrow {pp_{0}}}+r_{1}\cdot {\overrightarrow {pp_{1}}}+\ldots +r_{k}\cdot {\overrightarrow {pp_{k}}}\ \ :\ \ r_{0},r_{1},\ \dots ,r_{k}\geqslant 0\ \ \wedge \ \ r_{0}+r_{1}+\ldots +r_{k}=1\}.$

Zdefiniowany zbiór $S$ nie zależy od wyboru punktu $p.$

Każdy punkt tak zdefiniowanego sympleksu jest średnią ważoną z wierzchołków $p_{0},\dots ,p_{k}$ o wagach odpowiednio $r_{0},r_{1},\ \dots ,r_{k}$ (tzw. kombinacja wypukła).

Sympleks jest najmniejszym wypukłym zbiorem zawierającym punkty $p_{0},\dots ,p_{k}.$

Równoważnie:

Niech $k\leqslant n.$

Niech $p_{0},\dots ,p_{k}$ będą punktami rzeczywistej przestrzeni afinicznej $n$-wymiarowej i niech wektory ${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},{\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\dots ,{\overrightarrow {p_{0}p_{k}}}$ tworzą liniowo niezależny układ.

Sympleksem $k$-wymiarowym $S$ o $k+1$ wierzchołkach $p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}$ jest zbiór punktów:

$S=\{p_{0}+r_{1}\cdot {\overrightarrow {p_{0}p_{1}}}+r_{2}\cdot {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}}+\ldots +r_{k}\cdot {\overrightarrow {p_{0}p_{k}}}\ \ :\ \ r_{1},r_{2},\ \dots ,r_{k}\geqslant 0\ \ \wedge \ \ r_{1}+r_{2}+\ldots +r_{k}\leqslant 1\}.$

Tak zdefiniowany zbiór $S$ nie zależy od sposobu ponumerowania układu punktów $p_{0},p_{1},\dots ,p_{k}.$

Przestrzeń euklidesowa

W przestrzeni euklidesowej:

• sympleks zerowymiarowy to punkt,
• sympleks jednowymiarowy to odcinek,
• sympleks dwuwymiarowy to trójkąt,
• sympleks trójwymiarowy to czworościan (niekoniecznie foremny),
• sympleks czterowymiarowy to 5-komórka,

i ogólnie:

• sympleks $n$-wymiarowy to wielokomórka, której ścianami jest $n+1$ sympleksów $n-1$-wymiarowych.

Lista sympleksów

Poniżej znajduje się lista $n$-wymiarowych sympleksów (do $n=10$ włącznie).

Δn	Grafika (skośny rzut ortogonalny z ang.: skew orthogonal projection)	Nazwa symbol Schläfliego diagram Coxetera-Dynkina	Wierzchołków 0-wym.	Krawędzi 1-wym.	Ścian 2-wym.	Komórek 3-wym.	4-wym.	5-wym.	6-wym.	7-wym.	8-wym.	9-wym.	10-wym.
Δ0		0-sympleks (punkt)	1
Δ1		1-sympleks (odcinek) {}	2	1
Δ2		2-sympleks (trójkąt) {3}	3	3	1
Δ3		3-sympleks (czworościan) {3,3}	4	6	4	1
Δ4		4-sympleks (pentachoron) {3,3,3}	5	10	10	5	1
Δ5		5-sympleks {3,3,3,3}	6	15	20	15	6	1
Δ6		6-sympleks {3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	1
Δ7		7-sympleks {3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	1
Δ8		8-sympleks {3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9	1
Δ9		9-sympleks {3,3,3,3,3,3,3,3}	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
Δ10		10-sympleks {3,3,3,3,3,3,3,3,3}	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1

Wielkości opisujące sympleks

Liczba $k$-wymiarowych sympleksów w sympleksie $n$-wymiarowym

Dana jest dwuargumentowa funkcja $N(n,k)$ określająca liczbę sympleksów $k$-wymiarowych w sympleksie $n$-wymiarowym, przy czym $n\geqslant k.$ Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks $n$-wymiarowy składa się z:

• $n+1$ sympleksów zerowymiarowych, czyli wierzchołków:

$N(n,k)=n+1;\quad k=0,$

• dokładnie jednego sympleksu $n$-wymiarowego, czyli z samego siebie:

$N(n,k)=1;\quad k=n.$

Aby, mając dany $n$-wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks $(n+1)$-wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Wynika stąd, iż $(n+1)$-wymiarowy sympleks będzie miał o 1 wierzchołek więcej, niż sympleks $n$-wymiarowy. Nowe krawędzie (sympleksy jednowymiarowe) dodajemy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem. Tak więc liczba krawędzi w obecnym sympleksie zwiększy się o liczbę wierzchołków w sympleksie pierwotnym. Nowe ściany (sympleksy dwuwymiarowe) tworzymy natomiast, łącząc wszystkie wierzchołki starego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie itd. Uogólniając powyższe spostrzeżenie na dowolny wymiar: każdy $n$-wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów $k$-wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla $(n-1)$-wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów $(k-1)$-wymiarowych dla tegoż sympleksu. To wszystko zachodzi oczywiście dla $0<k<n{:}$

$N(n,k)=N(n-1,k-1)+N(n-1,k);\quad 0<k<n.$

Z powyższych rozważań utworzyć można rekurencyjny wzór na liczbę $k$-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie $n$-wymiarowym:

$N(n,k)=\left\{{\begin{array}{l}n+1;&k=0\\1;&k=n\\N(n-1,k-1)+N(n-1,k);&0<k<n\end{array}}\right..$

Zauważmy, że gdyby $N(n,k)=n;\quad k=1$ wówczas powyższy wzór opisywałby symbol Newtona, czyli $N(n,k)={n \choose k}$ Jednak ponieważ $N(n,k)=n+1;\quad k=0$ jedynym racjonalnym wzorem, spełniającym wszystkie 3 powyższe warunki wzoru rekurencyjnego, jest $N(n,k)={n+1 \choose k+1}$ Dlatego też ostatecznie wzór jawny na liczbę $k$-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie $n$-wymiarowym wyraża się wzorem:

$N(n,k)={n+1 \choose k+1}.$

Środek masy sympleksu

• Definicja jawna

Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich $n+1$ wierzchołków $n$-wymiarowego sympleksu:

$S_{n}={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=1}^{n+1}P_{k}.$

• Definicja rekurencyjna

Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) – średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.

Dla sympleksu $n$-wymiarowego, gdzie $n\geqslant 2$ – punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu $(n-1)$-wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.

Środek masy sympleksu foremnego

Dowolny $n$-wymiarowy sympleks foremny można zorientować w $n$-wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości $n$-tej współrzędnej dla $n$ wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla $(n+1)$-tego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien $(n-1)$-wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu $n$-wymiarowego, zaś wartość $n$-tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż $n$-ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla $(n+1)$-tego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość $n$-tej współrzędnej dla wszystkich $n+1$ wierzchołków jest sumą $n$ zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez $n+1.$ Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego $n$-wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez $n+1.$ Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego $S_{n}$ położony jest w odległości równej ${\tfrac {1}{n+1}}$ jego wysokości od środka masy jego podstawy $S_{n-1}$ i w odległości wynoszącej ${\tfrac {n}{n+1}}$ jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy $P_{n+1}{:}$

$|S_{n}S_{n-1}|=h_{n}\cdot {\frac {1}{n+1}},$

$|S_{n}P_{n+1}|=h_{n}\cdot {\frac {n}{n+1}}.$

Wysokość sympleksu foremnego

Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego $h_{n}$ a wysokością jego podstawy $h_{n-1}{:}$

$h_{n}={\sqrt {h_{n-1}^{2}-{\frac {h_{n-1}^{2}}{n^{2}}}}}$

Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:

${\begin{aligned}{\sqrt {h_{n-1}^{2}-{\frac {h_{n-1}^{2}}{n^{2}}}}}&=h_{n-1}{\sqrt {1-{\frac {1}{n^{2}}}}}\\&={h_{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {n^{2}-1}}{n}}\\&={h_{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}}{n}}\\&=h_{n}.\end{aligned}}$

Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:

$h_{1}=x.$

Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego $n$-wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla $k$ równego od 1 do $n.$ W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

$h_{n}=x\cdot {\frac {\sqrt {1\cdot 3}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2\cdot 4}}{3}}\cdot \ldots \cdot {\frac {\sqrt {(n-2)n}}{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}}{n}}.$

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

${\begin{aligned}h_{n}&=x\cdot {\frac {\sqrt {(1\cdot 3)\cdot (2\cdot 4)\cdot \ldots \cdot (n-2)n\cdot (n-1)(n+1)}}{n!}}\\&=x\cdot {\frac {\sqrt {1\cdot 2\cdot \left({\frac {(n-1)!}{2}}\right)^{2}\cdot n\cdot (n+1)}}{n!}}\\&=x\cdot {\frac {(n-1)!{\sqrt {2n(n+1)}}}{2n!}}\\&=x\cdot {\frac {\sqrt {2n(n+1)}}{2n}}\\&=x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}.\end{aligned}}$

Ostatecznie, wysokość $n$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ wyraża się wzorem:

$h_{n}=x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}$

Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:

$h_{n}=\left\{{\begin{array}{l}x;&n=1\\{h_{n-1}}\cdot {\frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}}{n}};&n>1\end{array}}\right..$

Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

$\lim _{n\to \infty }h_{n}=\lim _{n\to \infty }x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}={\frac {x{\sqrt {2}}}{2}}$

Miara główna sympleksu foremnego

Pod pojęciem miary głównej $n$-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na $n$-ty wymiar. Dowolny $n$-wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz $(n+1)$-tego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od $(n-1)$-wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz $n$-wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal $(n-1)$-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy $(n-1)$-szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal $(n-1)$-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw $X_{(n-1)1}$ i $X_{(n-1)2}$ jest równy $(n-1)$-szej potędze stosunku odpowiednich wysokości $h_{n1}$ i $h_{n2}$ łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:

${\frac {X_{(n-1)1}}{X_{(n-1)2}}}=\left.\left({\frac {h_{n1}}{h_{n2}}}\right)^{n-1}\quad \right|\cdot X_{(n-1)2}.$

Mnożąc obie strony powyższego równania przez $X_{(n-1)2}$ otrzymujemy:

$X_{(n-1)1}=X_{(n-1)2}\left({\frac {h_{n1}}{h_{n2}}}\right)^{n-1}.$

Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do $h_{n},$ zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do $h_{n}$ zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:

$X_{(n-1)2}=X_{n-1},$

$h_{n1}=x,$

$h_{n2}=h_{n}.$

Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do $h_{n}$ ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do $h_{n}{:}$

${\begin{aligned}X_{n}&=\int \limits _{0}^{h_{n}}\,X_{n-1}\left({\frac {h}{h_{n}}}\right)^{n-1}dh\\&={\frac {X_{n-1}}{h_{n}^{n-1}}}\int \limits _{0}^{h_{n}}\,h^{n-1}dh\\&={\frac {X_{n-1}}{h_{n}^{n-1}}}\left[{\frac {h^{n}}{n}}\right]_{0}^{h_{n}}\\&={\frac {X_{n-1}}{h_{n}^{n-1}}}\cdot {\frac {h_{n}^{n}}{n}}\\&={\frac {1}{n}}X_{n-1}h_{n}.\end{aligned}}$

Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna $n$-wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika ${\tfrac {1}{n}}$ miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:

$X_{n}={\frac {1}{n}}X_{n-1}h_{n}.$

Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla $n=1,$ jest równa długości jego krawędzi:

$h_{1}=x.$

Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla $k$ równego od 1 do $n.$ W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

$X_{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot \ldots \cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot {\frac {1}{n}}\cdot h_{1}\cdot h_{2}\cdot \ldots \cdot h_{n-1}\cdot h_{n}.$

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

${\begin{aligned}X_{n}&={\frac {1}{n!}}\cdot x\cdot {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\cdot \ldots \cdot x{\sqrt {\frac {n}{2(n-1)}}}\cdot x{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}\\&={\frac {1}{n!}}\cdot x^{n}{\sqrt {{\frac {2}{2\cdot 1}}\cdot {\frac {3}{2\cdot 2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {n}{2(n-1)}}\cdot {\frac {n+1}{2n}}}}\\&={\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {(n+1)!}{2^{n}n!}}}\\&={\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}.\end{aligned}}$

Ostatecznie, miara główna $n$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ wyraża się wzorem:

$X_{n}={\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}.$

Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:

$X_{n}=\left\{{\begin{array}{l}x^{n};&n\leqslant 1\\{\frac {1}{n}}X_{n-1}h_{n};&n>1\end{array}}\right..$

Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

$\lim _{n\to \infty }X_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}=0.$

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Pod pojęciem k-wymiarowej miary całkowitej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem obwodu (całkowitej miary 1-wymiarowej) trójkąta równobocznego (sympleksu foremnego 2-wymiarowego), czworościanu foremnego (sympleksu foremnego 3-wymiarowego) oraz jego pola powierzchni całkowitej (całkowitej miary 2-wymiarowej), odpowiednio na $k$-ty i $n$-ty wymiar. Nietrudno zauważyć, że dowolny $n$-wymiarowy sympleks foremny o krawędzi długości x składa się z $N(n,k)$ jednakowych $k$-wymiarowych sympleksów foremnych, z których długości poszczególnych krawędzi również są równe $x.$ Tak więc $k$-wymiarowa miara całkowita $n$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x$ jest równa iloczynowi miary głównej pojedynczego k-wymiarowego sympleksu foremnego o długości krawędzi, która także wynosi $x,$ czyli $X_{k}$ oraz liczby wszystkich takich k-wymiarowych sympleksów foremnych w danym n-wymiarowym sympleksie foremnym $N(n,k){:}$

$X_{kn}=N(n,k)\cdot X_{k}={n+1 \choose k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}{\sqrt {\frac {k+1}{2^{k}}}}.$

Nietrudno policzyć, że dowolna $k$-wymiarowa miara całkowita sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

$\lim _{n\to \infty }X_{kn}=\lim _{n\to \infty }{n+1 \choose k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}{\sqrt {\frac {k+1}{2^{k}}}}\to \infty .$

Zobacz też

• antypodyzm
• barycentrum
• retrakcja
• współrzędne barycentryczne

Bibliografia

• AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra liniowa z geometrią, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976 .brak strony (książka)
• KarolK. Borsuk KarolK., Geometria analityczna wielowymiarowa, t. 23, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964 (Biblioteka Matematyczna) .brak strony (książka)
• JerzyJ. Mioduszewski JerzyJ., Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994 (Skrypty Uniwersytetu Śląskiego; 501), ISSN 0239-6432 .???brak strony (książka)