Twierdzenie Arzeli-Ascolego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Arzeli-Ascolego – klasyczne twierdzenie analizy matematycznej, podające – w najprostszym przypadku – warunek wystarczający możliwości znalezienia podciągu w ciągu funkcji ciągłych, określonych na przestrzeni zwartej, zbieżnego jednostajnie. Pierwsza wersja twierdzenia została udowodniona w roku 1883 przez Giulio Ascolego[1], na długo przed wykształceniem się aparatu współczesnej topologii, lecz mimo to sens tego twierdzenia jest czysto topologiczny, a ono samo mówi de facto o (względnie) zwartych podzbiorach przestrzeni funkcji ciągłych z topologią zwarto-otwartą / topologią zbieżności jednostajnej.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego ma liczne zastosowania w matematyce. Za jego pomocą można na przykład udowodnić istnienie rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego

gdy o funkcji f nie zakłada się nic więcej poza jej ciągłością (zob. twierdzenie Peana).

Pojęcia wstępne[edytuj]

Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Symbol C(X, Y) oznacza przestrzeń funkcji ciągłych określonych na X i o wartościach w Y.

Niech X będzie przestrzenią metryczną oraz Y będzie przestrzenią unormowaną. Mówi się, że rodzina jest

  • wspólnie ograniczona, gdy dla pewnego M > 0 i dla każdego
,
  • jednakowo ciągła (albo równociągła), gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla wszelkich x, yX oraz każdego
,
  • punktowo relatywnie zwarta, gdy dla każdego xX domknięcie zbioru
jest zbiorem zwartym.

Twierdzenie[edytuj]

Wersja klasyczna[edytuj]

Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascolego mówi, że

  • Jeżeli jest ciągiem funkcji rzeczywistych określonych na przedziale zwartym, który jest wspólnie ograniczony i jednakowo ciągły (tzn. rodzina jest jednakowo ciągła), to zawiera on podciąg zbieżny jednostajnie.

Założenie jednakowej ciągłości jest istotne - istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych , który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech

dla oraz . Licznik i mianownik wyrażenia są nieujemne, skąd (wspólna ograniczoność na [0,1]). Ponadto,

dla każdego , ale

dla n=1,2,3..., więc żaden podciąg ciągu nie jest zbieżny jednostajnie.

Twierdzenie Arzeli-Ascolego jest niejako odwróceniem twierdzenia mówiącego, że

  • Jeżeli jest ciągiem funkcji określonych na przestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej , to jest rodziną jednakowo ciągłą.

Istotnie, niech będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje liczba naturalna taka, że

dla .

Każda funkcja ciągła określona na zbiorze zwartym jest jednostajnie ciągła (zob. twierdzenie Diniego), więc istnieje liczba taka, że

dla . Gdy oraz , to

,

co kończy dowód.

Wersja ogólna[edytuj]

Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Asoliego można sformułować w postaci warunku koniecznego i wystarczającego na to by podzbiór przestrzeni był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:

  • Rodzina jest zwarta w sensie topologii zwarto-otwartej wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo ciągła, punktowo relatywnie zwarta i domknięta.

Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascolego ponieważ w przypadku, gdy jest przestrzenią zwartą, a przestrzenią metryczną (lub ogólniej przestrzenią jednostajną), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w .

Uogólnienia[edytuj]

Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również noszą nazwy twierdzeń Ascolego:

  • Jeżeli jest k-przestrzenią, a jest przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór przestrzeni z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni są funkcje ) i dla każdego zbiór ma zwarte domknięcie.
  • Jeżeli jest k-przestrzenią, a przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór przestrzeni z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego przekształcenia rodziny są jednakowo ciągłe i dla każdego zbiór ma zwarte domknięcie.

Kelley i Morse udowodnili powyższe twierdzenia w przypadku, gdy jest przestrzenią lokalnie zwartą. Sformułowane wyżej uogólnienia na k-przestrzenie podali w roku 1966 Bagley i Young[2].

Twierdzenie Ascolego-Arzeli dla multifunkcji[edytuj]

W roku 1976 Pedro Morales i Goeffrey Fox uogólnili twierdzenie Ascolego-Arzeli (-Morse’a-Kelleya) na przestrzenie multifunkcji. W celu sformułowania tego wyniku potrzebne są następujące definicje:

Niech będzie niepustym zbiorem oraz będzie przestrzenią topologiczną.

  • Multifunkcja nayzwana jest punktowo zwartą, gdy dla każdego zbiór jest zwarty. Symbolem oznacza się rodzinę wszystkich punktowo zwartych multifunkcji z m-produktu .
  • Jeśli (zob. m-produkt) oraz , to symbolem oznacza się zbiór
.
  • Zbiór nazywany jest punktowo ograniczonym, gdy dla każdego domknięcie w przestrzeni zbioru jest zbiorem zwartym.
  • Zbiór nazywany jest zbiorem Tichonowa, gdy dla każdego punktowo ograniczonego zbioru zwarty jest zbiór (w sensie topologii w m-produkcie):
.
  • Niech dalej będzie przestrzenią topologiczną. Multifunkcję nazywamy ciągłą z dołu (ciągłą z góry) gdy dla każdego zbioru otwartego zbiór () jest otwarty w . Multufunkcje ciągłe jednocześnie z dołu i z góry nazywane są ciągłymi.
  • Zbiór nazywany równociągłym, gdy dla każdego , dla każdego zwartego podzbioru przestrzeni oraz dla każdego otoczenia otwartego zbioru istnieje otoczenie punktu oraz otoczenie zbioru takie że
    • ,
    • .

Przypisy

  1. Giulio Ascoli. Le curve limiti di una varietà data di curve. „Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.”, s. 521–586, 1883–1884. 
  2. R. W. Bagley, J. S. Yang, On k-spaces and function spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 703–705.