Multifunkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Multifunkcja a. funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją między zbiorami i nazywa się przyporządkowanie każdemu niepustego zbioru Jeśli jest multifunkcją między i to oznacza się to czasami symbolem

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję jako funkcję pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

  • Obrazem zbioru poprzez multifunkcję nazywa się zbiór
  • Wykresem multifunkcji nazywamy zbiór
  • Multifunkcją odwrotną do multifunkcji nazywamy multifunkcję taką, że
  • Jeśli jest niepustym zbiorem oraz i są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję daną wzorem

Ponadto dla multifunkcji definiuje się (dla ):

m-produkt[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

Jeśli dla każdego to m-produkt oznaczamy symbolem Jeśli to multifunkcję daną wzorem

nazywamy rzutowaniem na

Topologia w m-produkcie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]