Multifunkcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Multifunkcja a. funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Definicja[edytuj]

Niech i będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją między zbiorami i nazywa się przyporządkowanie każdemu niepustego zbioru . Jeśli jest multifunkcją między i , to oznacza się to czasami symbolem

.

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję jako funkcję pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

  • Obrazem zbioru poprzez multifunkcję nazywa się zbiór
  • Wykresem multifunkcji nazywamy zbiór
.
  • Multifunkcją odwrotną do multifunkcji nazywamy multifunkcję taką, że
.
  • Jeśli jest niepustym zbiorem oraz i są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję daną wzorem
.

Ponadto, dla multifunkcji definiuje się (dla ):

  • ,
  • .

m-produkt[edytuj]

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako "naśladuje" pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

.

Jeśli dla każdego , to m-produkt oznaczamy symbolem . Jeśli to multifunkcję daną wzorem

nazywamy rzutowaniem na .

Topologia w m-produkcie[edytuj]

Jeśli przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

.

Bibliografia[edytuj]

  • Geoffrey Fox, Pedro Morales. Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. Volume 64, Number 1 (1976), 137-143. [1]