Środek odcinka

Środek odcinka – punkt odcinka równo oddalony od jego końców; w geometrii euklidesowej jest to zarazem jego środek symetrii i miejsce przecięcia obydwu osi symetrii danego odcinka.

Geometria syntetyczna

Konstrukcje

Pierwsza „szkolna” metoda korzysta z własności geometrii płaszczyzny (przestrzeni) euklidesowej, kolejne dwie są poprawne również w geometrii afinicznej.

Sposób I (symetralna)

Skonstruować symetralną odcinka. Jego środek wyznaczony jest jako punkt przecięcia odcinka i jego symetralnej.

Sposób II (twierdzenie Talesa)

Zgodnie z rysunkiem obok:

• zaznaczyć punkt $C$ nienależący do odcinka $AB$,
• oznaczyć różny od $A$ punkt $D$ będący punktem przecięcia prostej $AC$ i okręgu $o(C, AC)$,
• nakreślić prostą $BD$ i równoległą do niej prostą przechodzącą przez $C$,
• oznaczyć punkt przecięcia $C'$ odcinka $AB$ i prostej $CC'$.

Punkt $C'$ jest szukanym środkiem odcinka $AB$.

Sposób III (przecięcie przekątnych równoległoboku)

Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

• nakreślić dwie równoległe proste $p, q$ przechodzące odpowiednio przez punkty $A, B$,
• nakreślić dwie inne równoległe proste $p', q'$ przechodzące odpowiednio przez punkty $A, B$,
• wyznaczyć różną od $AB$ przekątną powstałego równoległoboku.

Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku jest szukanym środkiem odcinka $AB$.

Geometrie metryczne

W tradycyjnym rozumieniu środek odcinka jest pojęciem metrycznym, dlatego można go definiować nie tylko w geometrii euklidesowej, ale także w innych metrycznych geometriach, takich jak geometria hiperboliczna czy eliptyczna, przy czym w tej drugiej każdy odcinek (rozumiany jako para różnych punktów) ma dwa środki. We wspomnianych trzech geometriach pojęcie to ma ścisły związek z symetralną odcinka.

Geometria afiniczna

Konstrukcje II i III pokazują, że środek odcinka można postrzegać jako pojęcie geometrii afinicznej. Mimo iż związek środka odcinka z jego symetralną zanika, to każdy odcinek posiada dokładnie jeden środek, ponieważ każda prosta jest przestrzenią metryczną.

W zamian środek ma silny związkiem z równoległobokiem i jego fundamentalną własnością wyrażaną popularnie jako „przekątne równoległoboku połowią się”, a ściśle

Twierdzenie

Czworobok $ABCD$ jest równoległobokiem (odcinki $AB, CD$ są równoległe i równej długości) wtedy i tylko wtedy, gdy punkty przecięcia odcinka $AD$ i $BC$ pokrywają się.

Powyższa równoważność oznacza, że pojęcie środka można zdefiniować za pomocą pojęcia równoległości i odwrotnie.

Własności

Środek odcinka jest niezmiennikiem izometrii; w przypadku geometrii euklidesowej prawdziwe jest stwierdzenie ogólniejsze: środek odcinka jest niezmiennikiem podobieństw. W pierwszym przypadku oznacza to, że izometria zachowuje środek odcinka (obrazem środka odcinka jest środek odcinka), w drugim, iż podobieństwa zachowują środek odcinka.

Środek odcinka jest niezmiennikiem dowolnego przekształcenia afinicznego (powinowactwa).

Geometria analityczna

Ponieważ przestrzeń afiniczna nie musi być przestrzenią metryczną, ani przestrzenią unitarną, to do wprowadzenia pojęcie środka odcinka nie są potrzebne pojęcia odległości (metryki) i kąta prostego (iloczynu skalarnego)). Co więcej nie jest wymagane nawet pojęcie wnętrza odcinka, co jest równoważne brakowi porządku liniowego w ciele nad którym zbudowana jest przestrzeń liniowa stowarzyszona z daną przestrzenią afiniczną. Konieczne jest jednak, aby wspomniane ciało było charakterystyki większej od 2.

Proste w przestrzeni afinicznej dane są jako jednowymiarowe podprzestrzenie afiniczne, czyli kombinacje afiniczne dwóch wektorów o współczynnikach z danego ciała. Wówczas dla dowolnych dwóch punktów $a, b$ środkiem wektora $\overrightarrow{ab}$ (odcinka skierowanego) jest punkt $a + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{ab}$.

Wynika stąd, że środkiem odcinka o końcach $(x_1, y_1)$ oraz $(x_2, y_2)$ jest punkt o współrzędnych $\left(\tfrac{1}{2}(x_1 + x_2), \tfrac{1}{2}(y_1 + y_2)\right)$.

Aksjomatyzacja

W dowolnym niepustym zbiorze $G$ pojęcia środka odcinka można można wprowadzić aksjomatycznie. Operację środka definiuje się wtedy jako działanie dwuargumentowe $\oplus\colon G \times G \to G$ określone na zbiorze $G$ spełniające następujące aksjomaty dla $a, b, c, d \in G$:

• $a \oplus a = a$, idempotentność,
• $a \oplus b = b \oplus a$, przemienność,
• $(a \oplus b) \oplus (c \oplus d) = (a \oplus c) \oplus (b \oplus d)$, bi-przemienność.

Strukturę $(G, \oplus)$ nazywa się algebrą środka.

Własności i uwagi

Z podanych aksjomatów dla dowolnych $a, b, c, x, x^' \in G$ wynikają następujące własności:

• samorozdzielność,

  $(a \oplus b) \oplus c = (a \oplus c) \oplus (b \oplus c)$,

• środkiem punktu (odcinka zdegenerowanego) jest on sam,
• $a \oplus b = a \Rightarrow a=b$,
• środek odcinka wyznaczony jest jednoznacznie,
• $x \oplus a = x^' \oplus a \Rightarrow x = x^'$.

Niezmienniczość operacji środka względem przekształcenia afinicznego $f$ (odpowiednio zdefiniowanego w algebrze środka) ma postać

$f(a \oplus b) = f(a) \oplus f(b)$,

co oznacza, że przekształcenia afiniczne są homomorfizmami przestrzeni afinicznych.

Relacja

Relacja określona na $G \times G$ wzorem

$ab \equiv cd \Leftrightarrow a \oplus d = b \oplus c$

jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji względem tej relacji tworzą grupę przemienną, której elementy można traktować jak grupę wektorów swobodnych. Do tego, aby $G$ była przestrzenią afiniczną brakuje tylko mnożenia przez skalar.

Uogólnienia

Uogólnienie pojęcia środek odcinka można w pewnym sensie wprowadzić w geometrii rzutowej. Niech $s$ będzie ustaloną prostą płaszczyzny rzutowej do której nie należą dowolnie wybrane dwa punkty $A, B$. Wówczas $s$-środek $X$ odcinka $AB$ definiuje się jako czwarty punkt harmoniczny spełniający $H(X, Y; A, B)$, gdzie $Y = AB \cap s$ (zob. czworobok zupełny).

Tak określony $s$-środek zachowuje niemal wszystkie własności środka afinicznego. W powyższy sposób wprowadza się geometrię afiniczną na podstawie geometrii rzutowej: wystarczy wybraną prostą $s$ uznać za horyzont, czyli prostą niewłaściwą.