Cząstka swobodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera

 
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec{x},t)+U(x)\psi(\vec{x},t) = i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}

z potencjałem U(x)=0 (na cząstkę nie działa żadna siła). Rozwiązaniem tego równania jest kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową)


\psi(\vec{x},t)=\sum_{\vec{k}} c_{k} \exp(i \vec{k}  \vec{x}-i \omega_{k} t)

gdzie \vec{p}=\hbar \vec{k} jest pędem cząstki, \vec{k}=\vec{e} k (\vec{e}\  \vec{e}=1) a k=\frac{2\pi}{\lambda} jest wektorem falowym skierowanym wzdłuż wektora jednostkowego e dla fali monochromatycznej o długości λ. Energia takiej fali jest równa


E_k=\frac {p^2} {2m}=\frac {\hbar^2 \vec{k}^2} {2m}=\hbar \omega_{\vec{k}}

Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej

v_g^i= \frac{\partial \omega_k}{\partial k^i}

Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy

 {\vec{v}}_g= \frac{\hbar \vec{k}}{m}=\frac{\vec{p}}{m}

podobnie jak w mechanice klasycznej.