Cząstka swobodna

W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera

$-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi(\vec{x},t)+U(x)\psi(\vec{x},t) = i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{x},t)}{\partial t}$

z potencjałem U(x)=0 (na cząstkę nie działa żadna siła). Rozwiązaniem tego równania jest kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową)

$\psi(\vec{x},t)=\sum_{\vec{k}} c_{k} \exp(i \vec{k} \vec{x}-i \omega_{k} t)$

gdzie $\vec{p}=\hbar \vec{k}$ jest pędem cząstki, $\vec{k}=\vec{e} k$ ($\vec{e}\ \vec{e}=1$) a $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ jest wektorem falowym skierowanym wzdłuż wektora jednostkowego e dla fali monochromatycznej o długości λ. Energia takiej fali jest równa

$E_k=\frac {p^2} {2m}=\frac {\hbar^2 \vec{k}^2} {2m}=\hbar \omega_{\vec{k}}$

Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej

$v_g^i= \frac{\partial \omega_k}{\partial k^i}$

Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy

${\vec{v}}_g= \frac{\hbar \vec{k}}{m}=\frac{\vec{p}}{m}$

podobnie jak w mechanice klasycznej.