Równanie Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Stan kwantowy  · Funkcja falowa  · Superpozycja  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie
Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2 (np. elektronu, kwarku, atomu srebra, itp.). Równanie to teoretycznie uzasadnia wynik eksperymentu Sterna-Gerlacha, który pokazał, że atomy srebra w postaci gazowej przechodząc prostopadle do linii pola silnego magnesu tworzyły dwie odseparowane wiązki - i to niezależnie od kierunku ustawienia pola magnetycznego względem wiązki wchodzącej do układu pomiarowego. Identyczne wyniki uzyskano dla innych cząstek o spinie 1/2. Według klasycznej fizyki oddziaływanie takie powinno prowadzić do w miarę jednorodnego rozmycia wiązki wzdłuż kierunku pola. Równanie Pauliego jest równaniem nierelatywistycznym, wprowadza spin w sposób fenomenologiczny tak, by uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów.

Odpowiednikiem równania Pauliego jest relatywistycznie niezmiennicze równanie Diraca, które uzasadnia istnienie spinu jako wymóg Lorentzowskiej niezmienniczości równań fizyki.

Hamiltonian cząstki w polu elektromagnetycznym[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian równania Schrödingera dla cząstki o ładunku 
q
oddziałującej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać:


\hat H=\frac{1}{2m}(\hat \mathbf{p} -q\vec{A}\, )^{2} + q\varphi

gdzie:


\hat\mathbf{p}=-i\hbar\nabla=-i\hbar\bigg(\frac{\partial}{\partial_x},\frac{\partial}{\partial_y},\frac{\partial}{\partial_z}\bigg)

- operator całkowitego pędu cząstki,


\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)
oraz ϕ

- potencjały wektorowy i skalarny pola elektromagnetycznego. Równanie to opisuje poprawnie ruch w polu elektromagnetycznym cząstek, które nie posiadają spinu i własnego momentu magnetycznego.

Hamiltonian cząstki ze spinem[edytuj | edytuj kod]

Aby uwzględnić fakt, że cząstki kwantowe mają własny moment magnetyczny, Pauli uzupełnił powyższy Hamiltonian o wektor

 \vec\sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)

zbudowanym z macierzy (zwanych macierzami Pauliego)

 \sigma_x \!\!=\!\!
\left[
\begin{matrix}
0&&1\\
1&&0
\end{matrix}
\right]

\sigma_y \!\!=\!\!
\left[
\begin{matrix}
0&&-i\\
i&&0
\end{matrix}
\right]

\sigma_z\!\! =\!\!
\left[
\begin{matrix}
1&&0\\
0&&-1
\end{matrix}
\right].

w następujący sposób:


\hat H=\frac{1}{2m}\big(\vec\sigma\cdot(\hat \mathbf{p} -q\vec{A}\, )\big)^{2} + q\varphi

gdzie znak 
\cdot
oznacza mnożenie skalarne wektorów. Wykonując przekształcenia algebraiczne powyższe równania upraszcza się do postaci

 \hat{H} = \frac{1}{2m}\left[(\hat\mathbf{p} - q \vec{A})^2 - q \hbar \vec{\sigma}\cdot \vec{B}\right] + q \phi

gdzie 
\vec B=\nabla  \vec A
jest wektorem pola magnetycznego.

Widać, że wprowadzenie operatora  \vec\sigma do Hamiltonianu oznacza uzupełnienie go o dodatkowy człon  - q \hbar \vec{\sigma}\!\cdot\! \vec{B} , który jest operatorem odpowiadającym klasycznej energii potencjalnej oddziaływania między magnetycznym momentem dipolowym 
\vec\mu_s 
cząstki a zewnętrznym polem magnetycznym 
\vec{B}


\Delta U =- \vec\mu_s\cdot \vec{B}
,

Różnica polega na tym, że klasycznemu momentowi magnetycznemu odpowiada w równaniu Pauliego operator macierzowy 2 x 2 
\vec\mu_s=\mu_s\vec\sigma
, ze względu na macierzową postać operatora  \vec{\sigma} .

Hamiltonian w takiej postaci gwarantuje, że równanie Pauliego posiada zawsze dwie wartości własne niezależnie od tego, jak przyjmie się osie układu współrzędnych w zapisie wektorów pola (co jest zgodne z zasadą, że prawa fizyki nie zależną od użytego układu współrzędnych).

Równanie Pauliego zależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się wstawiając powyżej opisany Hamiltonian do ogólnego równania Schrödingera


  i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t)\!\! =\!\! \left[ \frac{1}{2m}(\vec{\mathbf{\sigma}}\! \cdot (\hat\mathbf{p}\!\! -\!\! q \vec{A}\,))^2 \!\!+\! q \phi \right]\!\! \Psi(\mathbf{r},t) 

gdzie:

  • m - masa cząstki,
  • 
 q \ \ 
- ładunek cząstki,
  • 
 \vec{\mathbf{\sigma}} \ \ 
- wektor macierzy Pauliego,
  • 
\hat\mathbf{p}=-i\hbar\nabla
- operator pędu,
  • 
\vec{A}
- potencjał wektorowy pola,
  • 
\phi
- potencjał skalarny pola,

Zamiast skalarnej funkcji falowej  \Psi(\vec{r},t) rozwiązaniem równania Pauliego jest funkcja falowa w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinor):


\Psi( \vec{r},t)=\begin{bmatrix}
\psi_{+}(\vec{r},t) \\
\psi_{-}(\vec{r},t)
\end{bmatrix}

Jedna składowa jest funkcją falową stanu spinowego cząstki zgodnego z kierunkiem pola \vec B, druga - przeciwnego do pola.

Równanie Pauliego niezależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

W przypadku procesów stacjonarnych, tzn. gdy można założyć, że energia cząstki nie ulega zmianie w czasie, równanie Pauliego upraszcza się do postaci niezależnej od czasu


 \left[ \frac{1}{2m}(-i\hbar \nabla -q\vec{A} \,)^{2} +q\varphi - \vec\mu_s\cdot \vec{B} \right]\Psi( \vec{r}) = E\Psi( \vec{r})
 

gdzie 
E
- stała energia cząstki. Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia możliwych, stałych w czasie wartości energii 
E_n
i odpowiadających im funkcji własnych Hamiltonianu 
\Psi_n( \vec{r})=\begin{bmatrix}
\psi_{+,n}(\vec{r}) \\
\psi_{-,n}(\vec{r})
\end{bmatrix}
.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.