Równanie Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Diraca – podstawowe równanie w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku, słuszne dla cząstek relatywistycznych o spinie 1/2 (fermiony). Odpowiada równaniu Schrödingera w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Przewiduje istnienie antycząstek.

W zapisie relatywistycznie niezmienniczym równanie Diraca dla cząstki swobodnej ma postać:

(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-\frac{m_{0} c}{\hbar})\Psi(x^{\nu})=0,

gdzie:

\left. x^{\nu}=(x^0=c t, x^1,x^2,x^3) \right. - współrzędne punktu w czasoprzestrzeni,
\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} to czterogradient.

Macierze gamma \gamma^{\mu}[edytuj | edytuj kod]

Obiekty \gamma^{\mu} zwane macierzami gamma są to macierze zespolone 4 x 4; macierze te są tak dobrane, by spełnione było także równanie Kleina-Gordona. Narzuca to regułę antykomutacyjną w postaci:

\left\{ \gamma^{\mu},\gamma^{\nu} \right\} =2g^{\mu \nu}I,

gdzie:

\left\{ A,B \right\}=AB+BA jest antykomutatorem.

Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego-Diraca ma postać:

\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix},
\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\-\sigma_{i}&0\end{pmatrix},
\sigma_{i} (i=1,2,3) są macierzami Pauliego, zaś I jest macierzą jednostkową 2 x 2.

Funkcja falowa \Psi(x^{\nu})[edytuj | edytuj kod]

Obiekt \Psi(x^{\nu}) nazywany bispinorem Diraca jest funkcją falową o 4 zespolonych składowych, które zapisuje się w postaci kolumny


\Psi(x^{\nu}) = \left(
\begin{matrix}
\psi_{1}(x^{\nu}) \\
\psi_{2}(x^{\nu}) \\
\psi_{3}(x^{\nu}) \\
\psi_{4}(x^{\nu}) \\
\end{matrix}
\right),

przy czym x^{\nu}\in \mathbf{R}^4 jest położeniem cząstki w czasoprzestrzeni. Nazwa bi-spinor oznacza podwójny spinor. Spinor występuje w równaniu Pauliego, gdzie jest funkcją falową o 2 składnikach, opisujących 2 składowe spinowe (w równaniu Schrödingera funkcja falowa jest 1-składnikowa).

Interpretacja składowych bispinora jest następująca: jeżeli pęd jest skierowany w kierunku osi z, to dwie górne składowe bispinora są funkcjami falowymi cząstki, przy czym jedna z nich opisuje składową spinu w kierunku zgodnym z wektorem zewnętrznego pola magnetycznego, a druga w kierunku przeciwnym. Dwie dolne składowe odpowiadają analogicznym stanom spinowym antycząstki. Dla innego skierowania pędu interpretacja taka nie jest jednak właściwa.[1] s. 221

Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca jest zdefiniowana jako:

\rho = \Psi ^{\dagger} \Psi = |\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2}+|\psi_{3}|^{2}+|\psi_{4}|^{2},

gdzie: \left. \right. ^{\dagger} oznacza sprzężenie hermitowskie. Wielkość \rho(x^{\nu})=|\Psi(x^{\nu})|^2 oznacza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w położeniu x^{\nu}\in \mathbf{R}^4 .

Prócz bispinorów \left.\Psi\right. i \Psi^{\dagger} występuje trzeci rodzaj bispinora \bar{\Psi} postaci:

\bar{\Psi} = \Psi ^{\dagger} \gamma _{0}.

Równanie Diraca a równanie Schrödingera[edytuj | edytuj kod]

Równania Schrödingera ma postać

\hat H \big|\Psi(t)\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \big|\Psi(t)\rangle,

gdzie:

\hat H jest operatorem Hamiltona zależnym tylko od współrzędnych przestrzennych, zaś po prawej stronie równania występuje pochodna cząstkowa po czasie; i - jednostka urojona, \hbar - (ha kreślone) stała Plancka podzielona przez 2\pi, nazywana niekiedy zredukowaną stałą Plancka lub (zwłaszcza w literaturze anglojęzycznej) stałą Diraca.

Równanie Diraca można przekształcić do analogicznej postaci wprowadzając macierze

\alpha^{i}=\gamma^{0} \gamma^{i}
\beta=\gamma^{0}.

Wtedy równanie Diraca przyjmie postać

\left( c \alpha \vec p + m c^2 \beta \right)\Psi(\vec r,t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t),

gdzie:

\Psi(\vec{r},t) - czteroskładnikowa funkcja falowa Diraca zależna od współrzędnych przestrzennych \vec r=( x^1,x^2,x^3) oraz czasu t, c - prędkość światła, \vec p - operator pędu, m - masa cząstki (zwana masą spoczynkową).

Przy czym

\hat H =c \alpha \vec p + m c^2 \beta

jest operatorem Hamiltona dla swobodnego, relatywistycznego fermionu o spinie 1/2, analogicznym do operatora Hamiltona cząstki swobodnej w równaniu Schrödingera:

\hat H =  - \frac{\hbar^2}{2m}

Gdy cząstka jest swobodna, to funkcja falowa powinna nie zależeć od współrzędnych. Wtedy\frac{\partial\Psi}{\partial x}=
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=
\frac{\partial\Psi}{\partial z}=0 , co formalnie oznacza, że \vec p=0 i równanie Diraca przyjmuje postać[1] s. 217

m_0 c^2 \beta \Psi(t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(t).

Rozwiązania tego równania mają postać


\psi_A = e^{-i(mc^2/\hbar) t}\left(
\begin{matrix}
\psi_{1}(0) \\
\psi_{2}(0) \\
\end{matrix}
\right), 
\psi_B =e^{+i(mc^2/\hbar) t} \left(
\begin{matrix}
\psi_{3}(0) \\
\psi_{4}(0) \\
\end{matrix}
\right),

Pierwsze odpowiada formalnie cząstce (np. elektronowi) o energii 
E=mc^2, drugie antycząstce (np. pozytonowi) także o energii 
E=mc^2 [1] s. 217.

Równanie Diraca dla cząstki w polu[edytuj | edytuj kod]

Dotychczas omówiono równanie Diraca dla cząstki swobodnej. Tutaj zostanie omówione równanie Diraca dla cząstki nieswobodnej, znajdująca się w polu sił, przy czym pole traktowane będzie jako pole klasyczne, tj. nie poddane procesowi tzw. drugiego kwantowania. Zakładając, że cząstka jest naładowana, a pole oddziaływań jest polem elektromagnetycznym Maxwella o potencjale skalarnym \phi i potencjale wektorowym \vec A , operator Hamiltona w równaniu Diraca przyjmie postać

\hat{H}= \gamma^0 \left[c  \boldsymbol{\vec\gamma}\cdot\left({\vec {p}} - q \vec{A}\right) + mc^2 + \gamma^0q \phi \right]\,,

gdzie:

\boldsymbol{\vec\gamma}=(\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3)  oraz \gamma^0 są macierzami gamma,

{\vec p}=(p^1,p^2,p^3) jest operatorem pędu

kropka \cdot oznacza mnożenie skalarne,

q - to ładunek cząstki,

m - to masa cząstki.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. 1,0 1,1 1,2 D.J. Griffiths: Introduction to Elementary Particles. New York: Wiley-VCH, 1987.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L.I. Schiff, Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw-Hill 1968.