Równanie Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Stan kwantowy  · Funkcja falowa  · Superpozycja  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie
Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Diraca – podstawowe równanie w relatywistycznej mechanice kwantowej, sformułowane przez angielskiego fizyka Paula Diraca w 1928 roku. Spełnia ono taką samą rolę jak równanie Schrödingera w nierelatywistycznej mechanice kwantowej.

W opisie relatywistycznym równanie Diraca ma postać:

(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-\frac{m_{0} c}{\hbar})\Psi(x^{\nu})=0,

gdzie:

\left. x^{\nu}=(x^0=c t, x^1,x^2,x^3) \right. to współrzędne punktu w czasoprzestrzeni,
\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} to czterogradient.

Obiekt \gamma^{\mu}[edytuj | edytuj kod]

Obiekty \gamma^{\mu} są czterowymiarowymi macierzami zespolonymi (macierzami gamma), są one tak dobrane, by spełnione również było równanie Kleina-Gordona. Narzuca to regułę antykomutacyjną postaci:

\left\{ \gamma^{\mu},\gamma^{\nu} \right\} =2g^{\mu \nu}I,

gdzie:

\left\{ A,B \right\}=AB+BA jest antykomutatorem.

Jest bardzo wiele sposobów wyboru tych macierzy, np. reprezentacja Pauliego-Diraca ma postać:

\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix},
\gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\-\sigma_{i}&0\end{pmatrix},
\sigma_{i} (i=1,2,3) są macierzami Pauliego, zaś I jest macierzą jednostkową.

Obiekt \Psi(x^{\nu})[edytuj | edytuj kod]

Obiekt \Psi(x^{\nu}) jest nazywany bispinorem Diraca, jest to macierz zespolona pionowa o czterech wierszach:


\Psi(x^{\nu}) = \left(
\begin{matrix}
\psi_{1}(x^{\nu}) \\
\psi_{2}(x^{\nu}) \\
\psi_{3}(x^{\nu}) \\
\psi_{4}(x^{\nu}) \\
\end{matrix}
\right).

Bispinor Diraca jest odpowiednikiem funkcji falowej w nierelatywistycznej mechanice kwantowej. Gęstość prawdopodobieństwa w teorii Diraca jest zdefiniowana jako:

\rho = \Psi ^{\dagger} \Psi = |\psi_{1}|^{2}+|\psi_{2}|^{2}+|\psi_{3}|^{2}+|\psi_{4}|^{2},

gdzie: \left. \right. ^{\dagger} oznacza sprzężenie hermitowskie.

Prócz bispinorów \left.\Psi\right. i \Psi^{\dagger} występuje trzeci rodzaj bispinora \bar{\Psi} postaci:

\bar{\Psi} = \Psi ^{\dagger} \gamma _{0}.

Analogie między równaniem Diraca a Schrödingera[edytuj | edytuj kod]

Równanie Diraca można przekształcić do postaci podobnej do równania Schrödingera. Definiujemy nowe macierze:

\alpha^{i}=\gamma^{0} \gamma^{i}
\beta=\gamma^{0}.

Równanie Diraca definiuje hamiltonian relatywistycznego fermionu i przyjmuje postać:

H \Psi(\vec{r_j},t)=\left( c \alpha \vec p + m_0 c^2 \beta \right)\Psi(\vec r_j,t)=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r_j},t),

gdzie i to jednostka urojona,

\hbar (ha kreślone) jest stałą Plancka podzieloną przez 2\pi; nazywana niekiedy zredukowaną stałą Plancka lub (zwłaszcza w literaturze anglojęzycznej) stałą Diraca,

\Psi(\vec{r_j},t) jest czteroskładnikową funkcją falową (bispinorem Diraca) zależną od współrzędnych czasoprzestrzennych cząstki,

c jest prędkością światła,

\vec p jest operatorem pędu,

m_0 masą spoczynkową cząstki.

Równanie Diraca pozwala opisywać cząstki o spinie 1/2 (fermiony). Gdy cząstka się nie porusza, równanie Diraca przyjmuje postać:

i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r_j},t) = m_0 c^2 \hat \beta \Psi(\vec r_j,t).