Sfera jednostkowa z wektorami powierzchni
Twierdzenie Ostrogradskiego -Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną ) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego
a
→
.
{\displaystyle {\vec {a}}.}
Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola , elektronice , telekomunikacji i energetyce .
Niech
V
⊂
R
3
{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}}
będzie obszarem ograniczonym powierzchnią zamkniętą
S
,
{\displaystyle S,}
a
P
(
x
,
y
,
z
)
,
Q
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z)}
i
R
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle R(x,y,z)}
będą funkcjami mającymi ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze
V
.
{\displaystyle V.}
Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:
∬
S
(
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
)
=
∭
V
(
∂
P
∂
x
+
∂
Q
∂
y
+
∂
R
∂
z
)
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle \iint \limits _{S}(P\;dy\,dz+Q\;dz\,dx+R\;dx\,dy)=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\;dx\,dy\,dz.}
Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni
S
.
{\displaystyle S.}
Niech
V
{\displaystyle V}
oznacza rzut na płaszczyznę
X
O
Y
{\displaystyle XOY}
oraz dla
D
⊆
V
,
{\displaystyle D\subseteq V,}
niech
V
¯
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
(
x
,
y
)
∈
D
¯
∧
z
∈
[
g
1
(
x
,
y
)
,
g
2
(
x
,
y
)
]
}
{\displaystyle {\bar {V}}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,\colon \,(x,y)\in {\bar {D}}\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}}
Podzielmy powierzchnię
S
{\displaystyle S}
na trzy takie części
S
1
,
S
2
,
S
3
,
{\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},}
że:
S
1
=
{
(
x
,
y
,
g
1
(
x
,
y
)
)
:
(
x
,
y
)
∈
D
}
{\displaystyle S_{1}=\{(x,y,g_{1}(x,y))\colon (x,y)\in D\}}
S
2
=
{
(
x
,
y
,
z
)
:
(
x
,
y
)
∈
∂
D
∧
z
∈
[
g
1
(
x
,
y
)
,
g
2
(
x
,
y
)
]
}
{\displaystyle S_{2}=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D\wedge z\in [g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)]\}}
S
3
=
{
(
x
,
y
,
g
2
(
x
,
y
)
)
:
(
x
,
y
)
∈
D
}
,
{\displaystyle S_{3}=\{(x,y,g_{2}(x,y))\colon (x,y)\in D\},}
przy czym
∂
D
{\displaystyle \partial D}
oznacza brzeg obszaru
D
.
{\displaystyle D.}
Dla
S
2
{\displaystyle S_{2}}
trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla
S
1
{\displaystyle S_{1}}
wektor normalny ma postać
±
[
∂
g
1
∂
x
,
∂
g
1
∂
y
,
−
1
]
.
{\displaystyle \pm \left[{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}},{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}},-1\right].}
Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni
S
.
{\displaystyle S.}
Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi
−
1.
{\displaystyle -1.}
Analogicznie dla powierzchni
S
3
{\displaystyle S_{3}}
wektor normalny wynosi
[
−
∂
g
2
∂
x
,
−
∂
g
2
∂
y
,
1
]
.
{\displaystyle \left[-{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}},-{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}},1\right].}
Weźmy składową
R
{\displaystyle R}
pola wektorowego . Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:
∬
S
R
d
x
d
y
=
∬
S
1
R
d
x
d
y
+
∬
S
3
R
d
x
d
y
{\displaystyle \iint \limits _{S}R\,dx\,dy=\iint \limits _{S_{1}}R\,dx\,dy+\iint \limits _{S_{3}}Rdx\,dy}
=
∬
D
R
(
x
,
y
,
g
2
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
−
∬
D
R
(
x
,
y
,
g
1
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
{\displaystyle =\iint \limits _{D}R(x,y,g_{2}(x,y))dx\,dy-\iint \limits _{D}R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy}
=
∬
D
(
R
(
x
,
y
,
g
2
(
x
,
y
)
)
−
R
(
x
,
y
,
g
1
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle =\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.}
Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:
∭
V
∂
R
∂
z
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∬
D
d
x
d
y
∫
g
1
(
x
,
y
)
g
2
(
x
,
y
)
∂
R
∂
z
(
x
,
y
,
z
)
d
z
.
{\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}dx\,dy\int \limits _{g_{1}(x,y)}^{g_{2}(x,y)}{\frac {\partial R}{\partial z}}(x,y,z)dz.}
Dalej, stosując twierdzenie Newtona-Leibniza , otrzymujemy:
∭
V
∂
R
∂
z
d
x
d
y
d
z
=
∬
D
(
R
(
x
,
y
,
g
2
(
x
,
y
)
)
−
R
(
x
,
y
,
g
1
(
x
,
y
)
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iiint \limits _{V}{\frac {\partial R}{\partial z}}dx\,dy\,dz=\iint \limits _{D}(R(x,y,g_{2}(x,y))-R(x,y,g_{1}(x,y))dx\,dy.}
Dowody dla składowych
P
{\displaystyle P}
i
Q
{\displaystyle Q}
są analogiczne.
A więc lewa i prawa strona tezy są równe.
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.
Niech
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
będzie dowolnym polem wektorowym , dla którego istnieje dywergencja na całym zamkniętym obszarze o objętości
V
,
{\displaystyle V,}
otoczonej powierzchnią
S
.
{\displaystyle S.}
Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać[1] :
∫
S
A
→
⋅
d
S
→
=
∫
V
(
∇
⋅
A
→
)
d
V
,
{\displaystyle \int \limits _{S}{\vec {\mathbf {A} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\int \limits _{V}\left(\nabla \cdot {\vec {\mathbf {A} }}\right)\;dV,}
gdzie
d
S
→
{\displaystyle {\vec {\mathbf {d} S}}}
jest wektorem powierzchni dla infinitezymalnego elementu powierzchni
d
S
{\displaystyle dS}
na powierzchni
S
,
{\displaystyle S,}
a
d
V
{\displaystyle dV}
jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze
V
.
{\displaystyle V.}
Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.
Divergence theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].