Równanie Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Bernoulliego - jedno z podstawowych równań hydrodynamiki płynów idealnych, sformułowane przez Daniela Bernoulliego w 1738 roku.

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego, a w wersji rozszerzonej dla idealnego płynu barotropowego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych (p. zastrzeżenia podane poniżej w Uwagach dotyczących zastosowania równania Bernoulliego).

Równanie Bernoulliego stanowi całkę bardziej ogólnego hydrodynamicznego równania Eulera.

Szczególna postać równania[edytuj | edytuj kod]

Założenia:

Przy powyższych założeniach równanie przyjmuje postać:

 {e_m} = {v^2 \over 2}+gh+{p \over \varrho}=\mathrm{const}

gdzie:

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. W rozważanym przypadku zapewnia to stacjonarność przepływu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

Ogólna postać równania[edytuj | edytuj kod]

Równanie Bernoulliego może być z pewną dokładnością stosowane także dla idealnych płynów ściśliwych ale tylko typu barotropowego. Opracowano również wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to w ogólności ma postać:

 {v^2 \over 2}+ gh + \varepsilon + {p \over \varrho} =\mathrm{const}

gdzie ε - energia wewnętrzna płynu na jednostkę masy.

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione także dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane również dla nich.

Praktyczne wykorzystanie równania Bernoulliego[edytuj | edytuj kod]

BernoullisLawDerivationDiagram.png

Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

 {v_1^2 \over 2}+gh_1+{p_1 \over \varrho}={v_2^2 \over 2}+gh_2+{p_2 \over \varrho}

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury, to wzór upraszcza się do:

 {v_1^2 \over 2} + {p_1 \over \varrho} = {v_2^2 \over 2} + {p_2 \over \varrho}

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (\; v_1 > v_2 \;), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

A także: Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.

Zastosowanie równania Bernoulliego[edytuj | edytuj kod]

Równanie Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

Uwagi dotyczące stosowania równania Bernoulliego[edytuj | edytuj kod]

Równanie Bernoulliego nie uwzględnia tarcia wewnętrznego i strat miejscowych w płynie przejawiającego się w postaci lepkości i nagłymi zmianami przekrojów rur, zmianami kierunku przepływu, a tym samym nie odzwierciedla poprawnie zasady zachowania energii, dlatego w równaniu wprowadza się współczynnik strat.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Bukowski: Mechanika Płynów. Warszawa: 1968.
  • W. Lamb: Hydrodynamics. Cambridge. (ang.)
  • W. Prosnak: Mechanika Płynów. T. 1,2. Warszawa.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]