Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego - jedno z podstawowych równań hydrodynamiki płynów idealnych, sformułowane przez Daniela Bernoulliego w 1738 roku.

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego, a w wersji rozszerzonej dla idealnego płynu barotropowego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych (p. zastrzeżenia podane poniżej w Uwagach dotyczących zastosowania równania Bernoulliego).

Równanie Bernoulliego stanowi całkę bardziej ogólnego hydrodynamicznego równania Eulera.

Szczególna postać równania

Założenia:

• ciecz jest nieściśliwa
• ciecz nie jest lepka
• przepływ jest stacjonarny i bezwirowy

Przy powyższych założeniach równanie przyjmuje postać:

${e_m} = {v^2 \over 2}+gh+{p \over \varrho}=\mathrm{const}$

gdzie:

• $\; e_m \;$ - energia jednostki masy płynu,
• $\; \varrho \;$ - gęstość płynu,
• $\; v \;$ - prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu,
• $\; h \;$ - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna,
• $\; g \;$ - przyspieszenie grawitacyjne,
• $\; p \;$ - ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. W rozważanym przypadku zapewnia to stacjonarność przepływu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

Ogólna postać równania

Równanie Bernoulliego może być z pewną dokładnością stosowane także dla idealnych płynów ściśliwych ale tylko typu barotropowego. Opracowano również wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to w ogólności ma postać:

${v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{const}$

Gdzie:

• $\; \Phi \;$ - energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada $\; \Phi = gh \;$
• $\; w \;$ - entalpia przypadająca na jednostkę masy (entalpia właściwa)

$\; w = \epsilon + p / \varrho \;$

przy czym $\; \epsilon \;$ - energia wewnętrzna płynu.

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione także dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane również dla nich.

Praktyczne wykorzystanie równania Bernoulliego

Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

${v_1^2 \over 2}+gh_1+{p_1 \over \varrho}={v_2^2 \over 2}+gh_2+{p_2 \over \varrho}$

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury, to wzór upraszcza się do:

${v_1^2 \over 2} + {p_1 \over \varrho} = {v_2^2 \over 2} + {p_2 \over \varrho}$

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej ($\; v_1 > v_2 \;$), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

A także: Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.

Zastosowanie równania Bernoulliego

Równaniem Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

• paradoks hydrodynamiczny
• zjawisko zrywania dachów, gdy wieje silny wiatr
• zasada działania rurki Pitota
• zasada działania rurki Prandtla
• zasada działania zwężki Venturiego
• zasada działania palnika Bunsena
• pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu
• pośrednio w powstawaniu efektu Magnusa
• przyczyna osiadania statków w ruchu na płytkim akwenie.

Uwagi dotyczące stosowania równania Bernoulliego

Równanie Bernoulliego nie uwzględnia tarcia wewnętrznego i strat miejscowych w płynie przejawiającego się w postaci lepkości i nagłymi zmianami przekrojów rur, zmianami kierunku przepływu, a tym samym nie odzwierciedla poprawnie zasady zachowania energii, dlatego w równaniu wprowadza się współczynnik strat

Bibliografia

• J. Bukowski: Mechanika Płynów. Warszawa: 1968.
• W. Lamb: Hydrodynamics. Cambridge. (ang.)
• W. Prosnak: Mechanika Płynów. T. 1,2. Warszawa.

Linki zewnętrzne

• Animacja demonstrująca równanie Bernoulliego (ang.)