Energia kinetyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Energia kinetyczna (E_k) – energia ciała związana z ruchem jego masy. Jednostką  E_k jest dżul. W opisywalnych przez mechanikę klasyczną układach może dochodzić do przemian  E_k w energię potencjalną (E_p) i odwrotnie (przykładem takiego układu jest wahadło). Sumę  E_k+E_p nazywamy energią mechaniczną. Jak wynika z zasady zachowania energii E_k+E_p jest w układzie stała.

W szerszym ujęciu termodynamicznym, w przypadku gdy analizując zachowanie układu mechanicznego nie można zignorować strat E_k zachodzących np. w wyniku tarcia (z wydzieleniem ciepła, np. w przypadku tłoka), mówimy o rozproszeniu energii mechanicznej[1].

Mechanika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

 E_k = \frac{1}{2} m v^2

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

 E_k = \frac{1}{2} \mathbb \omega \hat I \mathbb \omega = \frac{1}{2} \sum_{ij}\omega_i I_{ij} \omega_j ,

gdzie:

\mathbb \omega - prędkość kątowa,
\hat I= (I_{ij}) - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

 E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 ,

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,
ω - prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna[edytuj | edytuj kod]

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,

gdzie

\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}

lub

E_{k}=mc^{2} \left(\gamma -1 \right)\,

lub

E_k = m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1 \right)

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej \frac{v}{c}\,

 \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} = 1 + \frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots

zatem:

E_k = mc^2 \left(\frac{1}{2} v^2/c^2  + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots\right) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m v^4/c^2 + \dots.

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła (v<<c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

 E_k \approx \frac{1}{2} m v^2 .

Mechanika kwantowa[edytuj | edytuj kod]

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej \hat T . Dla cząstki o masie m operator ten ma postać:

\hat T =\frac{\hat p^2}{2m}.

gdzie \hat p jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji \epsilon_{k \nu} ma postać

\hat T =\sum_{\mathbf k \nu} \epsilon_{\mathbf k \nu} a^\dagger_{\mathbf k \nu}a_{\mathbf k \nu},

gdzie symbol \nu może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. \nu=\{\sigma\} dla spinu, lub \nu=\{\sigma,n\} dla spinu i pasma n).

Przypisy

  1. Dynamika Układów Fizycznych. R.H. Connor jr.. WNT Warszawa 1973, str. 75-76