Energia kinetyczna

Energia kinetyczna – energia ciała związana z jego ruchem.

Mechanika klasyczna

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła (v<<c, gdzie c jest prędkością światła w próżni), energia kinetyczna wynosi:

$E_k = \frac{1}{2} m v^2$.

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$E_k = \frac{1}{2} \mathbb \omega \hat I \mathbb \omega = \frac{1}{2} \sum_{ij}\omega_i I_{ij} \omega_j$,

gdzie:

$\mathbb \omega$ - prędkość kątowa,

$\hat I= (I_{ij})$ - tensor momentu bezwładności.

W przypadku obrotu wokół jednej z osi głównych wyrażenie na energię kinetyczną w ruchu obrotowym upraszcza się do:

$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$,

gdzie:

I - odpowiednim momentem bezwładności,

ω - prędkość kątowa.

Mechanika relatywistyczna

Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła (tzw. relatywistycznych) do obliczenia energii kinetycznej stosuje się ogólniejszy wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}\,$

gdzie

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}$

lub

$E_{k}=mc^{2} \left(\gamma -1 \right)\,$

lub

$E_k = m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}-1 \right)$

Ułamek z powyższego wzoru ma rozwinięcie w szereg Maclaurina względem zmiennej $\frac{v}{c}\,$

$\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} = 1 + \frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots$

zatem:

$E_k = mc^2 \left(\frac{1}{2} v^2/c^2 + \frac{3}{8} v^4/c^4 + \dots\right) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{3}{8} m v^4/c^2 + \dots$.

Dla prędkości v małych w porównaniu z prędkością światła (v<<c) można pominąć drugi i dalsze składniki, co sprowadza wzór na energię kinetyczną do postaci znanej z mechaniki klasycznej (nierelatywistycznej):

$E_k \approx \frac{1}{2} m v^2$.

Mechanika kwantowa

W mechanice kwantowej wprowadza się pojęcie operatora energii kinetycznej $\hat T$. Dla cząstki o masie m operator ten ma postać:

$\hat T =\frac{\hat p^2}{2m}$.

gdzie $\hat p$ jest operatorem pędu.

W obrazie drugiej kwantyzacji operator energii kinetycznej dla układu cząstek o relacji dyspersji $\epsilon_{k \nu}$ ma postać

$\hat T =\sum_{\mathbf k \nu} \epsilon_{\mathbf k \nu} a^\dagger_{\mathbf k \nu}a_{\mathbf k \nu}$,

gdzie symbol $\nu$ może oznaczać dowolny zbiór zmiennych (np. $\nu=\{\sigma\}$ dla spinu, lub $\nu=\{\sigma,n\}$ dla spinu i pasma n).