Twierdzenie Noether

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Noethertwierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, mające fundamentalne znaczenie w fizyce. Dotyczy związku zasad zachowania z odpowiednimi symetriami ciągłymi.

Twierdzenie to mówi, że każda ciągła symetria praw fizyki (czyli taka, która nie zmienia zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ albo innych, równoważnych tym dwom, praw fizyki), opisywana przez grupę Liego, generuje tyle praw zachowania, ile jest niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego (lub generatorów grupy Liego).

Symetrie dyskretne mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji x \mapsto -x generuje zachowanie parzystości P), ale nie muszą (np. inwersja w czasie t \mapsto -t nie generuje prawa zachowania).

W mechanice klasycznej obowiązują zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje pewnych symetrii:

  1. Zasada zachowania energii wynika z niezmienniczości względem przesunięcia w czasie. Inaczej mówiąc, jeżeli w każdej chwili czasu zasada wariacyjna najmniejszego działania oraz równania ruchu opisujące układ nie zmieniają się, to energia układu w tych chwilach jest taka sama. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię (zmienia się wówczas zasada wariacyjna najmniejszego działania i równania ruchu), to energia układu w kolejnych chwilach czasu przyjmuje różne wartości.
  2. Zasada zachowania pędu odzwierciedla niezmienniczość zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ względem przesunięcia. Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego, to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie tensora energii-pędu.
  3. Zasada zachowania momentu pędu wiąże się z niezmienniczością zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ względem obrotu. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, wówczas zachowany jest całkowity moment pędu, tzn. włącznie ze spinowym.

Inne zasady zachowania wiążą się również z odpowiednimi symetriami ciągłymi. Na przykład zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości względem transformacji cechowania funkcji falowej elektronu.

\psi(\vec x, t) \mapsto \psi'(\vec x, t)=e^{i \alpha} \psi(\vec x, t)

Transformacje e^{i \alpha} generowane są przez ciągły kąt \alpha, ich zbiór tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych U(1). Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni \alpha(\vec x, t) nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania U(1) wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elektromagnetycznego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]