Continuum (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Continuum - w topologii ogólnej, niepusta przestrzeń topologiczna, która jest zarazem zwarta i spójna. Teoria continuów jest gałęzią topologii zajmującą się studiowaniem własności continuów i odwzorowań między nimi. Continua dzieli się zasadniczo na dwie klasy:

  • continua rozkładalne, to znaczy continua zawierające właściwe subcontinua (tzn. podprzestrzenie same będące continuami)
  • continua nierozkładalne, to znaczy continua, które nie są rozkładalne.

Wszystkie lokalnie spójne continua są rozkładalne, podczas gdy wszystkie continua nigdzie lokalnie spójne są nierozkładalne. Continua pojawiają się w sposób naturalny w matematyce, także poza topologią - na przykład, w kontekście rozważań ciągłych przedłużeń funkcji analitycznych na brzeg obszaru, w którym są różniczkowalne.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Artur Schoenflies rozważał następujący problem: Czy brzeg obszaru płaskiego jest zawsze sumą dwu continuów różnych od całości, w sposób analogiczny w jaki dwa łuki składają się na okrąg?[1]. W roku 1910, Luitzen Egbertus Jan Brouwer skonstruował krzywą, będącą wspólnym brzegiem trzech obszarów składających się płaszczyznę[2] (zob. jeziora Wady). Jeziora Wady nie mają takiego rozkładu (jest to, w szczególności, continuum nierozkładalne), a więc jest to kontrprzykład do postawionego problemu Schoenfliesa.

Podstawowe fakty teorii continuów[edytuj | edytuj kod]

  • Każde lokalnie spójne continuum jest łukowo spójne.
  • Każde jednowymiarowe continuum jest granicą odwrotną grafów. Wśród continuów jednowymiarowych wyróżnia się np. continua drzewopodobne, łukopodobne, okręgopodobne (ang. tree-like, arc-like, circle-like, odpowiednio), które są granicami odwrotnymi drzew, łuków, okręgów itd.
  • Klasycznymi przykładami nietrywialnych continuów są łuk i pseudołuk. Pseudołuk jest przykładem dziedzicznie nierozkładalnego continuum łukopodobnego, które jest homeomorficzne z każdym swoim nietrywialnym subcontinuum[3].

Przypisy

  1. A. Schoenflies. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmanningfaltigkeiten, Lipsk 1908.
  2. L.E.J. Brouwer. Zur Analysis Situs, Math. Ann. 68 (1910), ss. 422-434.
  3. E.E. Moise, An indecomposable plane continuum which is homeomorphic to each of its non-degenerate subcontinua, Transactions of the American Mathematical Society 63 (1948), ss. 581–594.