Całka wielokrotna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka wielokrotna stopnia n, to całka po n zmiennych z funkcji n zmiennych:

Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:

  • całka potrójna

Całka potrójna[edytuj]

Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości

Zamiana na całkę iterowaną[edytuj]

Jeżeli V jest odpowiednim obszarem normalnym , to

Jeżeli , to

Analogicznie zamianiamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie. Jeżeli obszar V nie jest obszarem normalnym, dzielimy go na obszary normalne.

Zamiana zmiennych[edytuj]

Niech obszar regularny domknięty D jest obrazem obszaru regularnego domkniętego Ω w przekształceniu

które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar Ω oraz
którego jakobian jest różny od zera wewnątrz Ω.

Ponadto niech f jest dowolną funkcją ciągłą w D. Wtedy

Uwaga. |J| oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.