Całka wielokrotna stopnia
n
{\displaystyle n}
całka po
n
{\displaystyle n}
zmiennych z funkcji
n
{\displaystyle n}
∭
Ω
⋯
∫
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
…
x
n
)
d
x
1
d
x
2
d
x
3
⋯
d
x
n
.
{\displaystyle \iiint \limits _{\Omega }\cdots \int f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})\;dx_{1}\;dx_{2}\;dx_{3}\cdots \;dx_{n}.}
Szczególne przypadki całki wielokrotnej, to:
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
;
{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\;dx\;dy;}
∭
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz.}
Całka ta ma interpretację masy zawartej w bryle o gęstości
ρ
=
f
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle \rho =f(x,y,z).}
Jeżeli
V
{\displaystyle V}
obszarem normalnym
V
=
{
a
⩽
x
⩽
b
;
g
(
x
)
⩽
y
⩽
h
(
x
)
;
p
(
x
,
y
)
⩽
z
⩽
q
(
x
,
y
)
}
,
{\displaystyle V=\{a\leqslant x\leqslant b;\ g(x)\leqslant y\leqslant h(x);\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\},}
∭
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∫
a
b
(
∫
g
(
x
)
h
(
x
)
(
∫
p
(
x
,
y
)
q
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
z
)
d
y
)
d
x
=
o
z
n
∫
a
b
d
x
∫
g
(
x
)
h
(
x
)
d
y
∫
p
(
x
,
y
)
q
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
z
.
{\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\int \limits _{a}^{b}{\bigg (}\int \limits _{g(x)}^{h(x)}{\bigg (}\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz{\bigg )}\;dy{\bigg )}\;dx\;{\overset {\underset {\mathrm {ozn} }{}}{=}}\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g(x)}^{h(x)}dy\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz.}
Jeżeli
V
=
{
(
x
,
y
)
∈
D
;
p
(
x
,
y
)
⩽
z
⩽
q
(
x
,
y
)
}
,
{\displaystyle V=\{(x,y)\in D;\ p(x,y)\leqslant z\leqslant q(x,y)\},}
∭
V
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∬
D
(
∫
p
(
x
,
y
)
q
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
z
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iiint \limits _{V}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iint \limits _{D}{\bigg (}\int \limits _{p(x,y)}^{q(x,y)}f(x,y,z)\;dz{\bigg )}\;dx\;dy.}
Analogicznie zamieniamy na całkę iterowaną inne całki po obszarze normalnym. Taka zamiana jest szczególnie prosta w przypadku całkowania po prostopadłościanie . Jeżeli obszar
V
{\displaystyle V}
Niech obszar regularny domknięty
D
{\displaystyle D}
\Omega w przekształceniu
Φ
=
{
x
=
x
(
u
,
v
,
w
)
,
y
=
y
(
u
,
v
,
w
)
,
z
=
z
(
u
,
v
,
w
)
}
,
{\displaystyle \Phi =\{x=x(u,v,w),\ y=y(u,v,w),\ z=z(u,v,w)\},}
które jest klasy C1 w pewnym obszarze zawierającym obszar
Ω
{\displaystyle \Omega }
którego jakobian
J
=
D
(
x
,
y
,
z
)
D
(
u
,
v
,
w
)
=
|
x
u
′
x
v
′
x
w
′
y
u
′
y
v
′
y
w
′
z
u
′
z
v
′
z
w
′
|
{\displaystyle J={\frac {D(x,y,z)}{D(u,v,w)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}&x'_{w}\\y'_{u}&y'_{v}&y'_{w}\\z'_{u}&z'_{v}&z'_{w}\end{vmatrix}}}
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
Ponadto niech
f
{\displaystyle f}
D
.
{\displaystyle D.}
∭
D
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
Ω
f
(
x
(
u
,
v
,
w
)
,
y
(
u
,
v
,
w
)
,
z
(
u
,
v
,
w
)
)
|
J
|
d
u
d
v
d
w
.
{\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\;dx\;dy\;dz=\iiint \limits _{\Omega }f(x(u,v,w),\ y(u,v,w),\ z(u,v,w))|J|\;du\;dv\;dw.}
Uwaga.
|
J
|
{\displaystyle |J|}
jakobianu , zaś
x
u
′
=
∂
x
∂
u
{\displaystyle x'_{u}={\frac {\partial x}{\partial u}}}
pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.
