Całka powierzchniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka powierzchniowacałka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka nieskierowana[edytuj]

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalna[edytuj]

Niech funkcja rzeczywista , określona na powierzchni S, będzie ciągła. Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY. Dzielimy D na podobszary gdzie dla każdego Poprzez oznaczamy pole a poprzez oznaczamy ten konkretny podział.

Oznaczamy tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest Na każdym obieramy dowolny punkt Rzutem na XY jest

Tworzymy sumę Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów , żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Obliczanie[edytuj]

Płat dany jawnie[edytuj]

Jeśli płat dany równaniem gdzie funkcja jest klasy C1 w D, to

Płat dany parametrycznie[edytuj]

Niech płat dany jest równaniami i ponadto zachodzą następujące warunki:

  • funkcje są klasy C1 w D;
  • D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
  • różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
  • wyrażenie jest różne od zera wewnątrz D.

Wtedy

Uwaga. Wyrażenie H jest sumą kwadratów minorów macierzy jakobianowej

Przykłady zastosowania[edytuj]

Jeżeli funkcja wyraża gęstość materialnego płata S w punkcie , to masa całego tego płata jest równa

Pole powierzchni płata S jest równe

Całka skierowana[edytuj]

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja[edytuj]

Niech funkcja wektorowa , określona na powierzchni S, będzie ciągła.

Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.

D dzielimy na podobszary takie że dla każdego Poprzez oznaczamy ten konkretny podział. Przez oznaczamy tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest a przez oznaczamy pole powierzchni

Na każdym obieramy dowolny punkt . Rzutem na XY jest

Tworzymy sumę , gdzie jest składową wektora normalną do .

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów , żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

,

lub

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną[1]. Niekiedy używa się również oznaczenia , lub podobnego[2].

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:

, gdzie

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie , a osiami układu współrzędnych[3].

Obliczanie[edytuj]

Płat dany jawnie[edytuj]

Niech płat jest zadany równaniem gdzie funkcja jest klasy C1 w D. I niech N=[-φx, -φy, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ. Wtedy

gdzie jeśli płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ, i jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie[edytuj]

Niech płat dany jest równaniami gdzie wszystkie te funkcje są klasy C1 w D. I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

  • D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
  • różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
  • wyrażenie jest różne od zera wewnątrz D (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ).

Wtedy:

gdzie

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

Tu , gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h; , gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty[edytuj]

Jeśli płat S można opisać wzorami gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach Syz, Szx, Sxy, będących rzutami S odpowiednio na OYZ, OZX, OXY, to

εx=+1, εy=+1, εz=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. εxz=+1 ⇔ zx<0 itd.

  • Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
  • Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
  • Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady[edytuj]

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère'a.

Zobacz też[edytuj]

  • G.M.G. Fichtenholz G.M.G., Rachunek różniczkowy i całkowa t. 3., s. 237.
  • W.W. Mizerski W.W. (red.), Tablice matematyczne, Warszawa 2004, s. 141.
  • G. M.G. M. Fichtenholz G. M.G. M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3., s. 241.