Całka powierzchniowa

Całka powierzchniowa – całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka niezorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalna

Niech funkcja rzeczywista $f\colon \ S\to \mathbb {R} ,$ określona na powierzchni $S\subset \mathbb {R} ^{3},$ będzie ciągła. Poprzez $D$ oznaczamy rzut powierzchni $S$ na płaszczyznę $XY.$ Dzielimy $D$ na podobszary $\Delta \delta _{1},\Delta \delta _{2},\dots ,\Delta \delta _{n},$ gdzie $\Delta \delta _{i}\cap \Delta \delta _{j}=\emptyset$ dla każdego $i\not =j.$ Oznaczmy przez $P$ ten konkretny podział.

Oznaczamy przez $\Delta S_{i}$ tę część powierzchni $S,$ której rzutem na płaszczyznę $XY$ jest $\Delta \delta _{i}.$ Niech $|\Delta \delta _{i}|$ oznacza pole powierzchni $\Delta \delta _{i},$ a $|\Delta S_{i}|$ pole powierzchni $\Delta S_{i}$. Na każdym $\Delta S_{i}$ obieramy dowolny punkt $p_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})\in \Delta S_{i}.$ Rzutem $p_{i}$ na $XY$ jest $(x_{i},y_{i},0)\in \Delta \delta _{i}.$

Tworzymy sumę $\sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}f(p_{i})|\Delta S_{i}|.$ Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów $P,$ żeby największa ze średnic $\Delta S_{i}$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $p_{i}$ ciąg sum $\sigma (P)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS$

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Jeśli płat dany równaniem $z=\varphi (x,y),$ gdzie funkcja $\varphi (x,y)$ jest klasy $C^{1}$ w $D,$ to

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x,\ y,\ \varphi (x,y){\big )}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{2}}}\;dx\;dy.$

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v)$ i ponadto zachodzą następujące warunki:

• funkcje $x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)$ są klasy $C^{1}$ w $D;$
• $D$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza $S$ odpowiadają różne punkty $D;$
• wyrażenie $H={\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}}^{2}$ jest różne od zera wewnątrz $D.$

Wtedy

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS=\iint \limits _{D}f{\big (}x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v){\big )}{\sqrt {H}}\;du\;dv.$

Uwaga. Wyrażenie $H$ jest sumą kwadratów minorów wziętych z macierzy Jakobiego${\frac {D(x,y,z)}{D(u,v)}}={\begin{bmatrix}x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{bmatrix}}.$

Przykłady zastosowania

Jeżeli funkcja $f(x,y,z)$ wyraża gęstość materialnego płata $S$ w punkcie $(x,y,z),$ to masa całego tego płata jest równa $\iint \limits _{S}f(x,y,z)dS.$

Pole powierzchni płata $S$ jest równe $\iint \limits _{S}dS.$

Całka zorientowana

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja

Niech funkcja wektorowa $F\colon \ S\to \mathbb {R} ^{3},$ określona na powierzchni $S\subset \mathbb {R} ^{3},$ będzie ciągła.

Poprzez $D$ oznaczamy rzut powierzchni $S$ na płaszczyznę $XY.$

$D$ dzielimy na podobszary $\Delta \delta _{1},\Delta \delta _{2},\dots ,\Delta \delta _{n},$ takie że $\Delta \delta _{i}\cap \Delta \delta _{j}=\emptyset$ dla każdego $i\not =j.$ Poprzez $P$ oznaczamy ten konkretny podział. Przez $\Delta S_{i}$ oznaczamy tę część powierzchni $S,$ której rzutem na płaszczyznę $XY$ jest $\Delta \delta _{i},$ a przez $|\Delta S_{i}|$ oznaczamy pole powierzchni $\Delta S_{i}.$

Na każdym $\Delta S_{i}$ obieramy dowolny punkt $p_{i}=(x_{1},y_{i},z_{i})\in \Delta S_{i}.$ Rzutem $p_{i}$ na $XY$ jest $(x_{i},y_{i},0)\in \Delta \delta _{i}.$

Tworzymy sumę $\sigma (P)=\sum _{i=1}^{n}F_{N}(p_{i})|\Delta S_{i}|,$ gdzie $F_{N}(p_{i})$ jest składową wektora $F(p_{i})=(X(p_{i}),Y(p_{i}),Z(p_{i}))$ normalną do $\Delta S_{i}.$

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów $P,$ żeby największa ze średnic $\Delta S_{i}$ dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich $p_{i}$ ciąg sum $\sigma (P)$ dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

$\iint \limits _{S}X(x,y,z)dydz+Y(x,y,z)dzdx+Z(x,y,z)dxdy,$

lub

$\iint \limits _{S}Xdydz+Ydzdx+Zdxdy$

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną. Niekiedy używa się również oznaczenia $\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,$ $\iint \limits _{S}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}$ lub podobnego.

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:

$\iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=\iint \limits _{S}(X\cos \alpha +Y\cos \beta +Z\cos \gamma )\;dS,$ gdzie $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie $(x,y,z),$ a osiami układu współrzędnych.

Obliczanie

Płat dany jawnie

Niech płat jest zadany równaniem $z=\varphi (x,y),$ gdzie funkcja $\varphi$ jest klasy $C^{1}$ w $D.$ I niech $\mathbf {N} =[-\varphi _{x},-\varphi _{y},1]$ jest wektorem normalnym do $S$ skierowanym zgodnie z osią $OZ.$ Wtedy

$\iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,\ y,\ \varphi (x,y))\mathbf {N} \;dx\;dy=$

$=\varepsilon \iint \limits _{D}{\Big (}-X\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{x}-Y\left(x,\ y,\ \varphi (x,y)\right)\varphi _{Y}+Z(x,\ y,\ \varphi (x,y)){\Big )}\;dx\;dy,$

gdzie $\varepsilon =+1,$ jeśli płat $S$ jest zorientowany zgodnie z osią $OZ,$ i $\varepsilon =-1,$ jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie

Niech płat dany jest równaniami $x=x(u,v),\ y=y(u,v),\ z=z(u,v),$ gdzie wszystkie te funkcje są klasy $C^{1}$ w $D.$ I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

• $D$ jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
• różnym punktom wnętrza $S$ odpowiadają różne punkty $D;$
• wyrażenie $H=|\mathbf {h} |^{2}={\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}}^{2}$ jest różne od zera wewnątrz $D$ (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ${\frac {D(x,y,z)}{D(u,v)}}={\begin{bmatrix}x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{bmatrix}}$).

Wtedy:

$\iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv,$

gdzie:

$\mathbf {h} =[x_{u},y_{u},z_{u}]\times [x_{v},y_{v},z_{v}]={\bigg [}{\begin{vmatrix}y_{u}&z_{u}\\y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}z_{u}&x_{u}\\z_{v}&x_{v}\end{vmatrix}},\ {\begin{vmatrix}x_{u}&y_{u}\\x_{v}&y_{v}\end{vmatrix}}{\bigg ]}.$

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

$\varepsilon \iint \limits _{D}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot \mathbf {h} \;du\;dv=\varepsilon \iint \limits _{D}{\begin{vmatrix}X&Y&Z\\x_{u}&y_{u}&z_{u}\\x_{v}&y_{v}&z_{v}\end{vmatrix}}\;du\;dv.$

Tu $\varepsilon =+1,$ gdy płat $S$ jest zorientowany zgodnie z wektorem h; $\varepsilon =-1,$ gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty

Jeśli płat $S$ można opisać wzorami $x=x(y,z),\ y=y(z,x),\ z=z(x,y),$ gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach $S_{yz},$ $S_{zx},$ $S_{xy},$ będących rzutami $S$ odpowiednio na $OYZ,$ $OZX,$ $OXY,$ to

$\iint \limits _{S}\mathbf {F} (x,y,z)d\mathbf {\;S} =\iint \limits _{S}\left(X\;dy\;dz+Y\;dz\;dx+Z\;dx\;dy\right)=$

$=\varepsilon _{x}\iint \limits _{S_{yz}}X(x(y,z),\ y,\ z)\;dy\;dz\;+\;\varepsilon _{y}\iint \limits _{S_{zx}}Y(x,\ y(z,x),\ z)\;dx\;dz\;+\;\varepsilon _{z}\iint \limits _{S_{xy}}Z(x,\ y,\ z(x,y))\;dx\;dy.$

$\varepsilon _{x}=+1,\varepsilon _{y}=+1,\varepsilon _{z}=+1,$ gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a $-1$ gdy jest zorientowany przeciwnie. $\varepsilon _{x}*\varepsilon _{z}=+1\Leftrightarrow z_{x}<0$ itd.

• Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
• Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
• Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa

Linki zewnętrzne

• Surface integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].