Całka powierzchniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Całka powierzchniowacałka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka nieskierowana[edytuj]

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja formalna[edytuj]

Niech funkcja rzeczywista , określona na powierzchni , będzie ciągła. Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY. Dzielimy D na podobszary gdzie dla każdego Oznaczmy przez ten konkretny podział.

Oznaczamy przez tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest Niech oznacza pole powierzchni , a pole powierzchni [1]. Na każdym obieramy dowolny punkt Rzutem na XY jest

Tworzymy sumę Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów , żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Obliczanie[edytuj]

Płat dany jawnie[edytuj]

Jeśli płat dany równaniem gdzie funkcja jest klasy C1 w D, to

Płat dany parametrycznie[edytuj]

Niech płat dany jest równaniami i ponadto zachodzą następujące warunki:

  • funkcje są klasy C1 w D;
  • D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
  • różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
  • wyrażenie jest różne od zera wewnątrz D.

Wtedy

Uwaga. Wyrażenie H jest sumą kwadratów minorów macierzy jakobianowej

Przykłady zastosowania[edytuj]

Jeżeli funkcja wyraża gęstość materialnego płata S w punkcie , to masa całego tego płata jest równa

Pole powierzchni płata S jest równe

Całka skierowana[edytuj]

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja[edytuj]

Niech funkcja wektorowa , określona na powierzchni , będzie ciągła.

Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.

D dzielimy na podobszary takie że dla każdego Poprzez oznaczamy ten konkretny podział. Przez oznaczamy tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest a przez oznaczamy pole powierzchni

Na każdym obieramy dowolny punkt . Rzutem na XY jest

Tworzymy sumę , gdzie jest składową wektora normalną do .

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów , żeby największa ze średnic dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich ciąg sum dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

,

lub

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną[2]. Niekiedy używa się również oznaczenia , lub podobnego[3].

Związek całki skierowanej z nieskierowaną jest następujący:

, gdzie

to kąty pomiędzy wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie , a osiami układu współrzędnych[4].

Obliczanie[edytuj]

Płat dany jawnie[edytuj]

Niech płat jest zadany równaniem gdzie funkcja jest klasy C1 w D. I niech N=[-φx, -φy, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ. Wtedy

gdzie jeśli płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ, i jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie[edytuj]

Niech płat dany jest równaniami gdzie wszystkie te funkcje są klasy C1 w D. I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

  • D jest obszarem regularnym domkniętym, ograniczonym jedną krzywą zamkniętą zwykłą częściami gładką;
  • różnym punktom wnętrza S odpowiadają różne punkty D;
  • wyrażenie jest różne od zera wewnątrz D (jest to suma kwadratów minorów macierzy jakobianowej ).

Wtedy:

gdzie

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

Tu , gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h; , gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty[edytuj]

Jeśli płat S można opisać wzorami gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach Syz, Szx, Sxy, będących rzutami S odpowiednio na OYZ, OZX, OXY, to

εx=+1, εy=+1, εz=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. εxz=+1 ⇔ zx<0 itd.

  • Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
  • Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
  • Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady[edytuj]

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère’a.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Należałoby najpierw zdefiniować pole powierzchni w . Por. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3.
  2. G.M.G. Fichtenholz G.M.G., Rachunek różniczkowy i całkowa t. 3., s. 237.
  3. W.W. Mizerski W.W. (red.), Tablice matematyczne, Warszawa 2004, s. 141.
  4. G. M.G. M. Fichtenholz G. M.G. M., Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 3., s. 241.