Całka powierzchniowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całka powierzchniowa jest to całka, w której obszarem całkowania jest płat powierzchni.

Całka nieskierowana[edytuj | edytuj kod]

Inne nazwy to całka powierzchniowa funkcji skalarnej i całka powierzchniowa pierwszego rodzaju.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech funkcja f(x, y, z) będzie określona i ciągła na powierzchni S. Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY. Dzielimy D na podobszary \Delta\delta_{1},\ \Delta\delta_{2},\ ...,\ \Delta\delta_{n}, gdzie \Delta\delta_{i} \cap \Delta\delta_{j}=\empty dla każdego i\not=j. Poprzez |\Delta\delta_{i}| oznaczamy pole \Delta\delta_{i}, a poprzez T oznaczamy ten konkretny podział.

Oznaczamy \Delta S_{i} tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest \Delta\delta_{i}. Na każdym \Delta S_{i} obieramy dowolny punkt P_i(x_i, y_i, z_i). Rzutem P_i na XY jest (x_{i}, y_{i})\in\Delta\delta_{i}.

Tworzymy sumę q(T) = \sum_{i=1}^n f(P_{i})|\Delta S_{i}|. Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów T, żeby największa ze średnic \Delta S_{i} dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich P_i ciąg sum q(T) dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS

i nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną.

Znak dS to różniczka pola płata.

Obliczanie[edytuj | edytuj kod]

Płat dany jawnie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli płat dany równaniem z = \varphi(x, y), gdzie funkcja \varphi(x, y) jest klasy C1 w D, to

\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{D}f\big(x,\ y,\ \varphi(x, y)\big)\sqrt{1+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2}\;dx\;dy.

Płat dany parametrycznie[edytuj | edytuj kod]

Niech płat dany jest równaniami x = x(u, v),\ y = y(u, v),\ z = z(u, v) i ponadto zachodzą następujące warunki:

Wtedy

\iint\limits_{S}f(x, y, z)\;dS = \iint\limits_{D}f\big(x(u,v),\ y(u,v),\ z(u,v)\big)\sqrt{H}\;du\;dv.

Uwaga. Wyrażenie H jest sumą kwadratów minorów macierzy jakobianowej \frac{D(x,y,z)}{D(u,v)}=\begin{bmatrix}
x_{u} & y_{u} & z_{u}\\
x_{v} & y_{v} & z_{v}
\end{bmatrix}.

Przykłady zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja f(x,y,z) wyraża gęstość materialnego płata S w punkcie (x,y,z), to masa całego tego płata jest równa \iint\limits_{S}f(x,y,z)dS.

Pole powierzchni płata S jest równe \iint\limits_{S}dS.

Całka skierowana[edytuj | edytuj kod]

Inne nazwy to całka powierzchniowa składowej normalnej wektora, strumień wektora przez powierzchnię, całka powierzchniowa drugiego rodzaju.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech funkcja \mathbf{F}(x, y, z) = \left[ X(x, y, z),\ Y(x, y, z),\ Z(x, y, z) \right] będzie określona i ciągła na powierzchni zorientowanej S.

Poprzez D oznaczamy rzut powierzchni S na płaszczyznę XY.

D dzielimy na podobszary \Delta\delta_{1},\ \Delta\delta_{2},\ ...,\ \Delta\delta_{n}, takie że \Delta\delta_{i} \cap \Delta\delta_{j}=\empty dla każdego i\not=j. Poprzez T oznaczamy ten konkretny podział. Przez \Delta S_{i} oznaczamy tę część powierzchni S, której rzutem na płaszczyznę XY jest \Delta\delta_{i}, a przez |\Delta S_{i}| oznaczamy pole powierzchni \Delta S_{i}.

Na każdym \Delta S_{i} obieramy dowolny punkt Pi=(xi, yi, zi). Rzutem Pi na XY jest (x_{i}, y_{i})\in\Delta\delta_{i}.

Tworzymy sumę q(T) = \sum_{i=1}^n F_{N}(P_{i})|\Delta S_{i}|, gdzie FN jest składową wektora F normalną do \Delta S_{i}.

Rozpatrujemy taki ciąg tych podziałów T, żeby największa ze średnic \Delta S_{i} dążyła do zera. Jeżeli dla każdego takiego ciągu podziałów i dla dowolnie wybranych punktów pośrednich P_i ciąg sum q(T) dąży do tej samej granicy, to granicę tę oznaczamy symbolem

\iint\limits_{S} \mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \iint\limits_{S} F_{N}(x, y, z)\;dS=
= \iint\limits_{S} F\cos(\mathbf{F},\mathbf{N})\;dS = \iint\limits_{S} (X\cos\alpha + Y\cos\beta + Z\cos\gamma)\;dS = \iint\limits_{S} \left(X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy\right)

i nazywamy całką powierzchniową zorientowaną.

Znak dS = [dydz, dzdx, dxdy] = [cos α, cos β, cos γ]dS to wektorowa różniczka płata.

Obliczanie[edytuj | edytuj kod]

Płat dany jawnie[edytuj | edytuj kod]

Niech płat jest zadany równaniem z = \varphi(x, y), gdzie funkcja \varphi jest klasy C1 w D. I niech N=[-φx, -φy, 1] jest wektorem normalnym do S skierowanym zgodnie z osią OZ. Wtedy

\iint\limits_{S}\mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \varepsilon\iint\limits_{D}\mathbf{F}(x,\ y,\ \varphi(x, y)) \mathbf{N} \;dx\;dy =
= \varepsilon\iint\limits_{D}\Big(- X\left(x,\ y,\ \varphi(x, y)\right)\varphi_{x} - Y\left(x,\ y,\ \varphi(x, y)\right)\varphi_{Y} + Z(x,\ y,\ \varphi(x, y))\Big)\;dx\;dy,

gdzie \varepsilon = +1, jeśli płat S jest zorientowany zgodnie z osią OZ, i \varepsilon = -1, jeśli jest zorientowany przeciwnie.

Płat dany parametrycznie[edytuj | edytuj kod]

Niech płat dany jest równaniami x = x(u, v),\ y = y(u, v),
\ z = z(u, v), gdzie wszystkie te funkcje są klasy C1 w D. I niech ponadto zachodzą następujące warunki:

Wtedy:

\iint\limits_{S} \mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \varepsilon\iint\limits_{D} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv,

gdzie

\mathbf{h} = [x_u, y_u, z_u] \times [x_v, y_v, z_v] = \bigg[\begin{vmatrix}
y_{u} & z_{u}\\
y_{v} & z_{v}\\
\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}
z_{u} & x_{u}\\
z_{v} & x_{v}\\
\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}
x_{u} & y_{u}\\
x_{v} & y_{v}\\
\end{vmatrix}\bigg].

Z własności iloczynu mieszanego mamy więc:

\varepsilon\iint\limits_{D} \mathbf{F}(x, y, z) \cdot \mathbf{h}\;du\;dv = \varepsilon\iint\limits_{D} \begin{vmatrix}
X & Y & Z\\
x_{u} & y_{u} & z_{u}\\
x_{v} & y_{v} & z_{v}\\
\end{vmatrix}\;du\;dv.

Tu \varepsilon=+1, gdy płat S jest zorientowany zgodnie z wektorem h; \varepsilon=-1, gdy jest zorientowany przeciwnie.

Dane 3 rzuty[edytuj | edytuj kod]

Jeśli płat S można opisać wzorami x = x(y, z),\ y = y(z, x),\ z = z(x, y), gdzie wszystkie te funkcje są określone w zbiorach Syz, Szx, Sxy, będących rzutami S odpowiednio na OYZ, OZX, OXY, to

\iint\limits_{S}\mathbf{F}(x, y, z) \mathbf{\;dS} = \iint\limits_{S} \left(X\;dy\;dz + Y\;dz\;dx + Z\;dx\;dy\right) =
= \varepsilon_x\iint\limits_{S_{yz}} X(x(y, z),\ y,\ z)\;dy\;dz \;+\; \varepsilon_y\iint\limits_{S_{zx}} Y(x,\ y(z, x),\ z)\;dx\;dz \;+\; \varepsilon_z\iint\limits_{S_{xy}} Z(x,\ y,\ z(x, y))\;dx\;dy.

εx=+1, εy=+1, εz=+1 gdy płat S jest zorientowany zgodnie z odpowiednią osią, a -1 gdy jest zorientowany przeciwnie. εxz=+1 ⇔ zx<0 itd.

  • Jeżeli jeden lub dwa rzuty płata S mają pole równe zero, to we wzorze pozostają tylko dwie lub jedna całka podwójna.
  • Wzór pozostaje słuszny, jeżeli tylko wewnętrznym punktom płata można przyporządkować punkty rzutów.
  • Aby zastosować tę metodę do innych płatów, należy je podzielić na skończona liczbę płatów spełniających założenia.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Całka powierzchniowa zorientowana występuje na przykład w prawie Gaussa (dla elektryczności, a także magnetyzmu i grawitacji) i prawie Ampère'a.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]