Obrazy w mechanice kwantowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obrazy w mechanice kwantowej. Rozwiązując równanie Schrödingera niezależne od czasu otrzymuje się wektor stanu , przedstawiający stan układu kwantowego w pewnej chwili początkowej . Pełny wektor stanu , otrzymuje się rozwiązując równanie Schrödingera zależne od czasu. Jeżeli hamiltonian układu nie zależy od czasu, to istnieje prosta zależność

Gdy jednak hamiltonian zależy od czasu, to rozwiązanie równania Schrödingera staje się trudniejsze.

Aby rozwiązać zagadnienie opisu układu mechanicznego nie jest jednak konieczne rozwiązywanie równania Schrödingera z pełnym operatorem Hamiltona. Niekiedy problem można uprościć przyjmując inny tzw. obraz, czyli założyć, że w równaniu Schrödingera na wektory stanu działa niekoniecznie cały operator Hamiltona - wtedy pozostała jego część działa na obserwable, w tym na operator całkowitej energii układy czyli pełny Hamiltonian. Wyróżnia się obrazy:

(1) obraz Schrödingera - jeżeli operator Hamiltona nie zależy od czasu, to jedynie wektory stanu zmieniają się w czasie, zaś obserwable są stałe w czasie; zakłada pełny operator Hamiltona w równaniu ewolucji stanów kwantowych,

(2) obraz Heisenberga - jedynie operatory zmieniają się w czasie,

(3) obraz Diraca (obraz oddziaływania) - zarówno wektory stanu jak i operatory zmieniają się w czasie.

Możliwość przyjęcia różnych obrazów wynika stąd, że wielkościami mierzonymi w eksperymentach nie są ani operatory ani wektory stanu, a jedynie wielkości, które wynikają z połączenia tych dwóch elementów równań kwantowomechanicznych - wartości średnie i prawdopodobieństwa. Stąd wynika możliwość przyjęcia różnych obrazów.

Zależność obserwabli od czasu[edytuj | edytuj kod]

(1) Pochodna zupełna po czasie z elementu macierzowego operatora, tj. wielkości , wyraża się wzorem:

Powyższe równanie dopuszcza pewną dowolność w wyrażeniu na zależność czasową wektorów stanu i obserwabli: jedynie ich suma musi spełniać powyższe równania. Aby znaleźć zależność od czasu tych dwóch elementów, należy więc nałożyć dodatkowy warunek na to równanie. W mechanice kwantowej warunek ten postuluje się jako:

Powyższe równanie ma charakter postulatu – nie wynika ono z żadnej teorii w mechanice kwantowej.

(2) Przyjmijmy, że pochodne stanów i opisywane są przez następujące równania:

gdzie jest pewnym ustalonym operatorem hermitowskim. Stąd pochodne wektorów dualnych wyrażają się wzorami:

(3) Wstawiając otrzymane pochodne do pierwszego wzoru otrzyma się:

Porównując powyższy wzór z postulowaną postacią pochodnej elementu macierzowego otrzymuje się:

Ponieważ wszystkie elementy macierzowe powyższego operatora zerują się, więc całkowity operator zeruje się. Stąd mamy:

Równanie powyższe opisuje zależność obserwabli od czasu. Ustalając konkretną postać operatora otrzymuje się różne obrazy mechaniki kwantowej.

Obraz Schrödingera[edytuj | edytuj kod]

W obrazie Schrödingera przyjmuje się . Wynika stąd, że:

(a) Stany kwantowe są rozwiązaniami równania Schrödingera (bo operator jest pełnym operatorem Hamiltona)

(b) Obserwable są zależne od czasu wg równania:

Dana obserwabla nie zależy więc od czasu, jeżeli nie zależy jawnie od czasu.

(c) Wartość średnia obserwabli może zmieniać się w czasie, ponieważ wektory stanu zależą tu od czasu:

Jeżeli jednak obserwabla nie zależy jawnie od czasu i komutuje z operatorem Hamiltona, to jest jej wartość średnia jest stała w czasie.

Obraz Heisenberga[edytuj | edytuj kod]

W obrazie Heisenberga przyjmuje się . Wynika stąd, że:

(a) Stany kwantowe nie zależą od czasu, gdyż są opisywane przez równanie:

(b) Obserwable ewoluują w czasie zgodnie z równaniem:

Obraz Diraca (obraz oddziaływania)[edytuj | edytuj kod]

W obrazie oddziaływania zarówno operatory jak i stany kwantowe zależą od czasu, jednak ich ewolucje są opisywane przez różne hamiltoniany. Jest to związane z tym, że hamiltonian dla układu jest postaci:

gdzie jest częścią operatora Hamiltona; zależnie od wyboru i opisywanej sytuacji fizycznej część ta może być związana z

- oddziaływaniem między elementami układu (np. dla dwóch elektronów będzie to energia ich wzajemnego oddziaływania elektrycznego) lub też pochodzić z oddziaływania elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetyczne; wtedy będzie tzw. hamiltonianem swobodnym, związanym z elektronami nie oddziałującymi ze sobą

- może odpowiadać za oddziaływanie elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetyczne (wtedy często nazywa się tę część hamiltonianu zaburzeniem); wtedy będzie tzw. hamiltonianem swobodnym, związanym z elektronem nie oddziałującymi z zewnętrznym polem.

(a) Stany kwantowe są opisywane tu przez równanie zawierające hamiltonian swobodny:

(b) Obserwable ewoluują zgodnie z równaniem

zależnym od hamiltonianu oddziaływania.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • B. Średniawa, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1978, str. 154-159.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​, str. 312-314.