Cząstki identyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Cząstki identyczne - cząstki nie różniące się pewną grupą własności fizycznych, takich jak masa, ładunek, spin. Cząstkami identycznymi są układy złożone z tych samych cząstek elementarnych jak elektrony, neutrina, kwarki, fotony, ale identyczne mogą być również cząstki złożone: jądra atomów, atomy czy nawet cząstki wieloatomowe, jeżeli tylko składają się z tej same liczby i rodzaju cząstek elementarnych.

Pojęcie cząstek identycznych wprowadzono do mechaniki kwantowej, aby uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów: zamiana położeń i spinów dwóch cząstek identycznych nie jest możliwa do wykrycia w pomiarze.

W opisie teoretycznym mechaniki kwantowej identyczność oznacza, że obliczając prawdopodobieństwa znalezienia układu cząstek identycznych w zadanych położeniach musimy otrzymać takie same przewidywania, niezależne od przestawień wykonanych na cząstkach w funkcji falowej. Z tego względu funkcje falowe układu cząstek identycznych są albo symetryczne (dla identycznych bozonów, np. fotonów) albo antysymetryczne (dla fermionów, np. elektronów, kwarków).

Cząstki identyczne w fizyce klasycznej[edytuj | edytuj kod]

Słońce i plnety - ciała o dobrze określonych trajektoriach.

W fizyce klasycznej przyjmuje się, że każdemu ciału można przyporządkować jednoznacznie położenie w dowolnej chwili czasu. Założenie to rozciąga się na wszystkie ciała, zarówno makroskopowe (np. planety i gwaizdy), jak i mikroskopowe (atomy i cząsteczki). Nie ma tu znaczenia, że niektóre ciała mają identyczne wielkości fizyczne, jak np. taką samą masę, rozmiar, ładunek itp. Z założenia tego wynika możlwość przypisania każdemu ciału indywidualnej trajektorii, określającej zmiany jego położenia w przestrzeni z upływem czasu. Zauważmy jednak, że np. obserwacja ruchu pojedynczej cząsteczki gazu wydaje się być praktycznie niemożliwa do realizacji. Ograniczenia w możliwości obserwacji indywidualnych trajektrii cząsteczek mikroskopowych znalazły wyraz w prawach mechaniki kwantowej.

Pas planetoid i planetoidy trojańskie - ciała o dobrze określonych trajektoriach.

Cząstki identyczne w fizyce kwantowej[edytuj | edytuj kod]

Fotony - cząstki identyczne mimo różnych długości fal (rozszczepienie światła w pryzmacie).
Trajektoria pierwszego odkrytego antyelektronu.

W mechanice kwantowej zakłada się, że niektóre cząstki są nierodróżnialne. Dotyczy to cząstek, które mają te same pewne parametry fizyczne, jak np. masę, ładunek, skład nukleonów w jądrach atomów, spin, itp. Np. wszystkie elektrony są identyczne. Identyczne też są fotony. Zauważmy przy tym, że cząstki identyczne mogą mieć różne energie (długości fal), np. fotony promieniowania ternicznego są traktowane jako cząstki identyczne, mimo że mają różne energie (długości fal), jednak wszystkie mają zerową masę i wartość liczby spinowej. Ale np. dwie cząstki alfa mogą nie być identyczne. Cząstki te są jądrami helu, który występuje w postaci kilku izotopów. Dlatego np. jądro _{2}^{3}He nie jest identyczne z jądrem _2^4{He} , gdyż różnią się liczbą neutronów, mimo że mają identyczną liczbę protonów. Jednak dwa jądra _{2}^{3}He są identyczne, podobnie jak dwa jądra _{2}^{4}He.

Rozpatrzmy dowolny układ N identycznych cząstek elementarnych, np. elektronów , kwarków czy fotonów. Funkcję falową układu takich cząstek zapisujemy w postaci

(1)\quad\quad \psi\left(1,2,\ldots,N;t\right)

gdzie \left(1,2,\ldots,N\right) oznacza zbiór współrzędnych położeń i spinów poszczególnych cząstek układu kwantowego (pozostałe parametry cząstek muszą być takie same). Załóżmy, że cząstki te zostały oznaczone w sposób jednoznaczny, tak że każda z nich posiada indywidualny numer. Przy zamianie dwóch cząstek (np. pierwszej i drugiej) funkcja falowa może zmienić się jedynie o czynnik fazowy e^{i\phi}, tzn.


(2)\quad\quad \psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=e^{i\phi}\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)

gdzie \phi jest dowolną liczbą rzeczywistą. Taka bowiem zamiana nie zmienia modułu |\psi| funkcji falowej. Wynik pomiaru zaś zależy tylko od modułu funkcji falowej (dokładniej - od |\psi|^2), gdy więc zamiana cząstek nie wpłynie na zmianę modułu, to tej zamiany nie jesteśmy w stanie stwierdzić w pomiarze.

Teraz wyobraźmy sobie kolejną zmianę – z powrotem przestawmy cząstki 2 i 1. Podczas drugiej zmiany ponownie zmieni się czynnik fazowy, otrzymamy funkcję


(3)\quad\quad\tilde \psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=e^{i\phi}\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)

Do prawej strony równania (3) podstawmy teraz równanie (2):


(4)\quad\quad\tilde\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=e^{ia\phi}e^{i\phi}\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)

Zauważmy teraz, że wróciliśmy do początkowej konfiguracji cząstek, której przypisaliśmy funkcję (1) - stąd wnioskujemy, że otrzymana w (3) funkcja \tilde\psi musi być funkcją wyjściową \psi. W takim razie z równania (4) mamy:


(5)\quad\quad e^{i\phi}=1
lub 
e^{i\phi}=-1

Powyższe liczby podstawmy do równania (2). W ten sposób otrzymamy:
(6)\quad\quad  \psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=\quad\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)

lub


(7)\quad\quad \psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=-\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)

Widzimy, że funkcja falowa układu identycznych cząstek może być ze względu na zamianę cząstek albo symetryczna (nie zmieni znaku przy zamianie położeń dwóch cząstek lub ich spinów), albo antysymetryczna (zmienia znak).

Funkcję falową symetryczną mają układy identycznych bozonów, np. zbiór fotonów. Przestawienie dwóch cząstek nie zmienia funkcji falowej. Funkcję falową antysymetryczną mają układy takich samych fermionów (np. elektronów), a przestawienie pary takich cząstek powoduje jedynie zmianę znaku funkcji falowej.

Zasada Pauliego[edytuj | edytuj kod]

Symetryczna funkcja falowa 2 bozonów.
Antysymetryczna funkcja falowa 2 fermionów.

Z antysymetrii funkcji falowych fermionów wynika zasada wykluczania zwana zasadą Pauliego: W układzie fermionów tego samego rodzaju (np. elektronów) oddziaływujących ze sobą żadne dwa fermiony nie mogą posiadać takiego samego zestawu liczb kwantowych (a więc i takich samych funkcji falowych). Mechanika kwantowa pokazuje, że symetria funkcji falowej zależy od spinu cząstek: bozony mają spin całkowity, zaś fermiony spin połówkowy, tj. 1/2, 1+1/2, 2+1/2, itd.

Dowody eksperymentalne[edytuj | edytuj kod]

Przykładem obowiązywania zasady Pauliego jest atom helu, który ma dwa związane elektrony; oba elektrony mogą zajmować najniższy stan energii (1s) pod warunkiem że przyjmą przeciwne spiny; ponieważ spin jest jedną z liczb kwantowych określających stan elektronu, to elektrony są w różnych stanach kwantowych i nie naruszają zasady Pauliego. Jednakże spin 1/2 może przyjmować tylko 2 wartości. Dlatego w atomie litu, z trzema związanymi elektronami, trzeci elektron nie może być w stanie 1s, ale musi zająć stan o wyższej energii 2s. Podobnie, kolejne pierwiastki muszą mieć elektrony zajmujące powłoki o sukcesywnie wyższych energiach. Widzimy, ze wyjaśnienie budowy pierwiastków w oparciu o ideę identyczności cząstek dostarcza oczywistego dowodu na identyczność cząstek elementarnych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

[1] R. P. Feynman, R.B. Leighton, M.Sands, Wykłady Feynmana z fizyki, PWN, Warszawa 1974, tom. I - część 1, str. 19-88.

[2] R. P. Feynman, R.B. Leighton, M.Sands, Wykłady Feynmana z fizyki, PWN, Warszawa 1974, tom. III, str. 30-51.