Cząstki identyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Cząstki identyczne to cząstki nie różniące się żadną cechą. Ich nierozróżnialność polega na tym, że zmiana współrzędnych i spinów dwóch dowolnych cząstek tego samego rodzaju nie może zmienić prawdopodobieństwa znalezienia każdej z nich w określonej objętości. Liczby kwantowe cząstek identycznych są jednakowe. Funkcje falowe układu cząstek identycznych są albo symetryczne (dla bozonów) albo antysymetryczne (dla fermionów) przy zamianie liczb kwantowych tych cząstek.

W mechanice klasycznej cząstki, pomimo że są identyczne (np. mają tę samą masę, rozmiar), są rozróżnialne. Można np. obserwować ich trajektorie podczas ruchu.

W mechanice kwantowej identyczne cząstki są nierozróżnialne. Identyczność oznacza, że są cząstkami tego samego rodzaju (np. elektrony) i mają takie same współrzędne i spiny.

Dla dowolnego układu N cząstek można zapisać

\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)

gdzie \left(1,2,\ldots,N\right) to zbiór współrzędnych i spinów kolejnych cząstek wchodzących w skład układu kwantowego. Przy zamianie dwóch cząstek (weźmy pierwszą i drugą cząstkę) funkcja falowa może zmienić się tylko o nieistotny czynnik fazowy e^{ia_{12}}, gdzie a_{12} to liczba rzeczywista. Wynika to z tego, co powiedzieliśmy wcześniej – cząstki są identyczne i nierozróżnialne, zatem zamiana ich miejscami nie może prowadzić do zmiany wartości funkcji falowej układu.


\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=e^{ia_{12}}\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)
(*)

Teraz wyobraźmy sobie kolejną zmianę – z powrotem przestawmy cząstki 2 i 1. W ten sposób powinniśmy powrócić do początkowej konfiguracji układu. Podczas drugiej zmiany ponownie wprowadzamy czynnik fazowy:


\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=e^{ia_{12}}\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)

Do prawej strony otrzymanego wyrażenia podstawmy teraz równanie (*):


\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)=e^{ia_{12}}e^{ia_{12}}\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)

Nietrudno zauważyć, że:


e^{ia_{12}}e^{ia_{12}}=1

czyli


e^{2ia_{12}}=1

e^{ia_{12}}=\pm1

Ostatnie równanie podstawmy do równania (*). W ten sposób otrzymamy:


\psi\left(2,1,\ldots,N,t\right)=\pm\psi\left(1,2,\ldots,N,t\right)

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  1. Funkcja falowa układu cząstek może mieć symetryczny lub antysymetryczny charakter. Funkcja symetryczna obowiązuje wszystkie bozony. Przestawienie dwóch cząstek nie zmienia jej wartości. Z kolei funkcja antysymetryczna opisuje układy fermionów, a przestawienie pary takich cząstek powoduje zmianę znaku wartości funkcji falowej. Jednym słowem charakter symetrii funkcji falowej zależy od spinu cząstek.
  2. Z antysymetrii funkcji falowych układów elektronów można wyciągnąć ważny wniosek, zwany zasadą wykluczania lub zasadą Pauliego. Otóż w układzie elektronów (ogólnie fermionów) nieoddziaływujących ze sobą żadne dwa fermiony tego samego rodzaju nie mogą posiadać identycznych liczb kwantowych (tych samych funkcji falowych).