Analiza funkcjonalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
→Przestrzenie unormowane: zmieniono tytuł fragmentu |
drobne redakcyjne (głównie eliminacja fragmentów niewiele wyjaśniających) |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Analiza funkcjonalna''' – dział [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] zajmujący się głównie badaniem własności [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]]. Rozwinął się w trakcie studiów nad [[Funkcja|odwzorowaniami]] zwanymi |
'''Analiza funkcjonalna''' – dział [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] zajmujący się głównie badaniem własności [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]]. Rozwinął się w trakcie studiów nad [[Funkcja|odwzorowaniami]] zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad [[transformacja Fouriera|transformacją Fouriera]]) oraz równaniami [[różniczka|różniczkowymi]] i [[całka|całkowymi]]. |
||
Słowo ''funkcjonał'' pochodzi z [[rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnego]], gdzie oznacza funkcję, której argument jest [[funkcja|funkcją]] (ale wartość jest [[liczba|liczbą]]) |
Słowo ''funkcjonał'' pochodzi z [[rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnego]], gdzie oznacza funkcję, której argument jest [[funkcja|funkcją]] (ale wartość jest [[liczba|liczbą]]). Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne operatory, których zarówno argumenty jak i wartości są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest [[teoria operatorów]] gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory). |
||
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się [[matematyk]]owi i [[fizyk]]owi [[Vito Volterra|Vito |
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się [[matematyk]]owi i [[fizyk]]owi [[Vito Volterra|Vito Volterze]], a stworzenie jej podstaw przypisuje się [[Stefan Banach|Stefanowi Banachowi]], aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy [[XIX wiek]]u [[Węgry|węgierski]] matematyk |
||
[[József Szoboszló]], jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. [[XX wiek]]u. |
[[József Szoboszló]], jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. [[XX wiek]]u.{{fakt}} |
||
==Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej== |
==Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej== |
||
W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem [[Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)|przestrzeni Frécheta]] i innych [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]]. Podstawowymi przestrzeniami badanymi w analizie funkcjonalnej są jednak [[przestrzeń unormowana|unormowane]] [[przestrzeń zupełna|zupełne]] przestrzenie [[przestrzeń liniowa|liniowe]] nad [[Ciało (matematyka)|ciałem]] liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[liczby zespolone|zespolonych]]. Takie przestrzenie noszą nazwę [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]]. |
|||
Przykładami przestrzeni Banacha są [[przestrzeń Hilberta|przestrzenie Hilberta]], w których norma pochodzi od [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]]. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]]. |
|||
Typowe przestrzeni liniowe badane w analizie funkcjonalnej są głównie nieskończeniewymiarowymi, ponieważ skończeniewymiarowe przestrzeni są badane w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]]. Dlatego można powedzieć że analiza funkcjonalna jest uogólnieniem algebry liniowej. Często wektory tych przestrzeni liniowych nieskończeniewymiarowych są [[funkcja]]mi; analiza funkcjonalna rozwija się głównie wychodząc z problemów dotyczących funkcji, ale jest bardzo abstrakcyjnej i dlatego bada nie tylko przestrzeni funkcjonalne. |
|||
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są [[funkcja ciągła|ciągłe]] przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. |
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są [[funkcja ciągła|ciągłe]] przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Badania własności przestrzeni takich funkcjonałów doprowadziły do sformułowania pojęć [[C*-algebra|C*-algebr]] i innych algebr operatorów. |
||
==Najważniejsze wyniki== |
==Najważniejsze wyniki== |
||
Wersja z 05:35, 13 maj 2008
Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.
Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją (ale wartość jest liczbą). Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne operatory, których zarówno argumenty jak i wartości są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest teoria operatorów gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory).
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się matematykowi i fizykowi Vito Volterze, a stworzenie jej podstaw przypisuje się Stefanowi Banachowi, aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy XIX wieku węgierski matematyk József Szoboszló, jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. XX wieku.[potrzebny przypis]
Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej
W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem przestrzeni Frécheta i innych przestrzeni liniowo-topologicznych. Podstawowymi przestrzeniami badanymi w analizie funkcjonalnej są jednak unormowane zupełne przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Takie przestrzenie noszą nazwę przestrzeni Banacha.
Przykładami przestrzeni Banacha są przestrzenie Hilberta, w których norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są ciągłe przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Badania własności przestrzeni takich funkcjonałów doprowadziły do sformułowania pojęć C*-algebr i innych algebr operatorów.
Najważniejsze wyniki
Poniżej są wymienione główne i podstawowe wyniki z dziedziny analizy funkcjonalnej.
- Twierdzenie Banacha-Steinhausa (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów.
- Twierdzenie spektralne podaje reprezentację operatorów samosprzężonych na przestrzeni Hilberta poprzez całki względem specjalnych miar spektralnych. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
- Twierdzenie Hahna-Banacha mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność chprzestrzeni dualnych.
- Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz twierdzenie o wykresie domkniętym.