Twierdzenia o izomorfizmie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m precyzyjniej, drobne redakcyjne |
m Bot: Przenoszę linki interwiki (11) do Wikidata, są teraz dostępne do edycji na d:q1065966 |
||
Linia 83: | Linia 83: | ||
[[Kategoria:Twierdzenia matematyczne|O izomorfizmie]] |
[[Kategoria:Twierdzenia matematyczne|O izomorfizmie]] |
||
[[Kategoria:Algebra]] |
[[Kategoria:Algebra]] |
||
[[de:Isomorphiesatz]] |
|||
[[en:Isomorphism theorem]] |
|||
[[es:Teoremas de isomorfía]] |
|||
[[fr:Théorèmes d'isomorphisme]] |
|||
[[it:Teorema di isomorfismo]] |
|||
[[he:משפטי האיזומורפיזם]] |
|||
[[hu:Izomorfizmustételek]] |
|||
[[nl:Isomorfismestelling]] |
|||
[[ru:Теоремы об изоморфизме]] |
|||
[[uk:Теореми про ізоморфізми]] |
|||
[[zh:同构基本定理]] |
Wersja z 21:56, 15 mar 2013
Twierdzenie o izomorfizmie – jedno z twierdzeń matematycznych szeroko stosowanych w algebrze uniwersalnej mówiących o istnieniu pewnych naturalnych izomorfizmów.
Historia
Twierdzenia o izomorfizmie zostały sformułowane w pewnej ogólności dla homomorfizmów modułów przez Emmy Noether w jej dziele Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern opublikowanej w 1927 w Mathematische Annalen. Mniej ogólne wersje tych twierdzeń mogą być znalezione w pracach Richarda Dedekinda i wcześniejszych dziełach Noether.
Trzy lata później B.L. van der Waerden wydał swoją doniosłą Algebrę, pierwszy podręcznik algebry abstrakcyjnej, który podjął, teraz tradycyjne, podejście do przedmiotu: grupy-pierścienie-ciała. Van der Waerden wskazał jako swoje główne źródła wykłady z teorii grup u Noether i algebry u Emila Artina oraz seminarium prowadzone przez Artina, Wilhelma Blaschke, Ottona Shreiera i samego van der Waerdena dotyczące ideałów. Pojawiają się w nim trzy twierdzenia o izomorfizmie nazywane twierdzeniem o homomorfizmie oraz, w odniesieniu do grup, dwoma prawami izomorfizmów.
Grupy
Twierdzenia o izomorfizmie zostaną najpierw wyrażone dla grup, gdzie przyjmują prostszą postać i wyrażają ważne własności grup ilorazowych. Wszystkie trzy dotyczą „dzielenia” przez podgrupę normalną.
Pierwsze twierdzenie
Jeżeli są grupami, a
jest homomorfizmem to
- jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną
- obraz jest podgrupą a
- grupa ilorazowa nazywana czasem koobrazem, jest izomorficzna z obrazem
Jeżeli ciąg rozszczepia się, to jest w rzeczywistości iloczynem półprostym. W kategorii abelowej lemat o rozszczepianiu uściśla ten fakt do rozkładu na sumę prostą.
Drugie twierdzenie (znane też jako trzecie)
Niech
- będą podgrupami i
- będzie podgrupą normalną
Wówczas
- Iloczyn grup oraz jest podgrupą w
- jest podgrupą normalną w a
- jest izomorficzna z
Trzecie twierdzenie (znane też jako drugie)
Jeżeli
- są podgrupami normalnymi w
- takimi, że zawiera się w
to
- jest podgrupą normalną w
- jest podgrupą normalną w a
- jest izomorficzna z
Wynik ten uogólnia się przez lemat dziewiątkowy na kategorie abelowe i bardziej ogólne odwzorowania między obiektami.
Pierścienie i moduły
Twierdzenia o izomorfizmie zachodzą również dla modułów nad ustalonym pierścieniem (a więc również i dla przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem). Należy jedynie zamienić pojęcia „grupa” na „-moduł”, „podgrupa” i „podgrupa normalna” na „podmoduł”, a „grupa ilorazowa” na „moduł ilorazowy”.
W przypadku przestrzeni liniowych pierwsze twierdzenie o izomorfizmie nosi nazwę twierdzenia o rzędzie.
Twierdzenia o izomorfizmie zachodzą także dla pierścieni, homomorfizmów pierścieni i ideałów. W tym przypadku należy zamienić pojęcia „grupa” na „pierścień”, „podgrupa” na „podpierścień” i „podgrupa normalna” na „ideał”, a „grupa ilorazowa” na „pierścień ilorazowy”.
We wspomnianych dwóch przypadkach notacja supremum to „”, nie zaś „”.
Ogólnie
Aby uogólnić ten wynik na algebrę uniwersalną, podgrupy normalne muszą być zastąpione kongruencjami.
Krótko, jeżeli jest algebrą uniwersalną, to kongruencją na jest relacja równoważności określona na która jest podalgebrą, gdy jest ona rozpatrywana jako podzbiór (z działaniami określonymi po współrzędnych). Zbiór klas równoważności może być przekształcony w algebrę tego samego typu poprzez zdefiniowanie działań na reprezentantach; będą one dobrze określone, ponieważ jest podalgebrą
Pierwsze twierdzenie
Jeżeli są algebrami, a homomorfizmem z do to relacja równoważności określona na wzorem
- jest kongruencją na zaś algebra jest izomorficzna z obrazem czyli podalgebrą w
Drugie twierdzenie
Dla danej algebry i jej podalgebry oraz kongruencji określonej na niech będzie podzbiorem wyznaczanym przez wszystkie klasy kongruencji zawierające element z Symbol będzie oznaczał przecięcie (rozpatrywane jako podzbiór ) z Wówczas jest podalgebrą a jest kongruencją na i wreszcie algebra jest izomorficzna z algebrą
Trzecie twierdzenie
Niech będzie algebrą, a oraz będą dwoma relacjami kongruencji określonymi na gdzie zawiera się w Wówczas wyznacza kongruencję na określoną wzorem
- a jest izomorficzna z
Bibliografia
- Emmy Noether, Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern, Mathematische Annalen 96 (1927) p. 26-61
- Colin McLarty (pod redakcją Jeremy'ego Graya i José Ferreirósa), The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy - Emmy Noether’s ‘Set Theoretic’ Topology: From Dedekind to the rise of functors, Oxford University Press (2006) p. 211–35.
Zobacz też
- lemat Zassenhausa, czasami nazywane czwartym twierdzeniem o izomorfizmie,
- twierdzenie o kracie, czasami nazywane czwartym twierdzeniem o izomorfizmie,
- lemat o rozszczepianiu, który jest uściśleniem pierwszego twierdzenia dla ciągów rozszczepionych.
Linki zewnętrzne
- Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
- Drugie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).
- Trzecie twierdzenie o izomorfizmie na PlanetMath (ang.). Dowód na PlanetMath (ang.).