Twierdzenie o odpowiedniości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie o odpowiedniości[1][2][3][4][5][6][7][8] (znane też jako czwarte twierdzenie o izomorfizmie[6][9][a][b] lub twierdzenie o kracie[11]) – twierdzenie teorii grup opisujące wzajemną odpowiedniość podgrup ustalonej grupy zawierających podgrupę normalną z podgrupami grupy ilorazowej struktura podgrup grupy jest tożsama ze strukturą podgrup grupy zawierających (zob. Wnioski).

Niech będzie homomorfizmem grup na Wówczas istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między zbiorem wszystkich podgrup grupy zawierających jądro oraz zbioru wszystkich podgrup grupy – odpowiedniość ta zachowuje zawieranie. Podgrupy normalne w zawierające odpowiadają podgrupom normalnym w i na odwrót. Grupy ilorazowe odpowiadających podgrup normalnych są izomorficzne. W ten sposób twierdzenie opisuje monotoniczne połączenie Galois (w istocie: odpowiedniość Galois) między kratą podgrup grupy a kratą podgrup grupy Podobne wyniki są prawdziwe dla pierścieni, modułów, przestrzeni liniowych oraz algebr nad ciałami.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: podgrupa, podgrupa normalna, grupa ilorazowa, homomorfizm i jądro.

Niech jest homomorfizmem grup na Wówczas

(1) dla każdej dla której istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa [c];
(2) jeżeli to [d];
(3) jeżeli oraz to [e];
(4) jeżeli oraz to [f];
(5) jeżeli jest dowolną podgrupą to istnieje dla której oraz [g];
(6) dla zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy [h];
(7) jeżeli oraz to [i].

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Ważny przypadek szczególny powyższego twierdzenia to przypadek homomorfizmu naturalnego (zob. rozkład grupy ilorazowej); przypadek ten umożliwia wyczerpujący opis podgrup grupy ilorazowej – jego ostatnią zależność określa się jako twierdzenie o ilorazie ilorazu lub, częściej, trzecie (drugie) twierdzenie o izomorfizmie – dzięki poniższemu stwierdzeniu można m.in. przeprowadzić klasyfikację grup ilorazowych grup cyklicznych:

Stwierdzenie
Niech Podgrupy grupy są podgrupami ilorazowymi gdzie przebiega podgrupy grupy spełniające Dokładniej, dla każdej podgrupy grupy istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa grupy spełniająca dla której Jeżeli i są podgrupami np. i gdzie i to wtedy i tylko wtedy, gdy Co więcej wtedy i tylko wtedy, gdy W tym przypadku
Dowód
Ponieważ to możliwa jest konstrukcja grupy ilorazowej Homomorfizm naturalny jest „na”, można zatem zastosować powyższe twierdzenie – zgodnie z nim dowolna podgrupa w jest postaci dla pewnej gdzie ( oznacza zawężenie do ). Jest
oraz na mocy twierdzenia ( ma sens, ponieważ oraz pociągają ). Zatem podgrupy mają postać gdzie Zgodnie z częściami (2), (3), (4) twierdzenia wtedy i tylko wtedy, gdy oraz Wreszcie wtedy i tylko wtedy, gdy na mocy części (6) twierdzenia i w tym przypadku na mocy (7), co kończy dowód.

W szczególności prawdziwe są też następujące obserwacje:

  • jeśli to gdzie oznacza indeks podgrupy w grupie (tj. liczbę warstw podgrupy w grupie );
  • gdzie oznacza podgrupę generowaną przez [j];

przy czym lista ta jest daleko niewyczerpująca, ponieważ większość właściwości podgrup zachowuje się w obrazach bijekcyjnych na podgrupy grup ilorazowych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. ↑ Pod nazwą „czwarte twierdzenie o izomorfizmie” niektórzy rozumieją lemat Zassenhausa; np. Alperin i Bell[4] (s. 13) lub Wilson[10].
  2. ↑ W zależności od sposobu liczenia twierdzeń o izomorfizmie można spotkać się z określeniem twierdzenia o odpowiedniości jako trzeciego twierdzenia o izomorfizmie; zob. np. H.E. Rose[3] (s. 78).
  3. ↑ Dla każdej dla której należy wskazać podgrupę w Można to uczynić zaczynając od podzbioru w wyznaczonego przez za pomocą jedynego dostępnego transportu z do mianowicie przekształcenia W związku z tym oznaczając
    należy dowieść, że Można to uczynić za pomocą kryterium bycia podgrupą, jednak można skorzystać z twierdzenia zapewniającego, że obraz homomorficzny grupy jest podgrupą w obrazie: zawężenie do jest homomorfizmem i z definicji jest
    wspomniane twierdzenie daje teraz skąd Zależność będzie użyteczna w kolejnych częściach.
  4. ↑ Niech Dowód, że jest prosty: dla dowolnego jest też zatem ponieważ dla wszystkich to
  5. ↑ Niech oraz Należy dowieść Założenie oznacza Ponadto dla każdego zachodzi
    dla dowolnego istnieje taki dla którego
    Dla jak wyżej otrzymuje się
    skąd czyli (z własności warstw) Dlatego dla dowolnego a zatem
  6. ↑ To bezpośredni wniosek z (3): jeśli to oraz a więc i oraz na mocy (3), zatem (pokazuje to zarazem, że odpowiedniość jest jednoznaczna, tzn. różnowartościowa).
  7. ↑ Dla każdej należy znaleźć dla której oraz Podobnie jak w części (1) podgrupę można wskazać za pomocą przeciwobrazów elementów w Przyjmując
    widać, że oznacza Należy pokazać, że ponadto oraz że Najpierw ponieważ to zatem Stosując kryterium bycia podgrupą:
    (i) jeśli to czyli tzn. a zatem jest zamknięte ze względu na mnożenie;
    (ii) jeśli to czyli tzn. a więc jest zamknięte ze względu na branie odwrotności;
    dowodzimy, że jest podgrupą w Dalej, to że zawiera jest trywialne: jeśli to czyli a więc stąd Pozostaje dowieść otóż zachodzi
    zgodnie z tezą (ta część pokazuje, że odpowiedniość jest „na”).
  8. ↑ Najpierw zakładając wykazane zostanie Posłuży do tego jedna z charakteryzacji podgrup normalnych: pokazane zostanie dla dowolnych oraz dla dowolnych Jeśli oraz to istnieją gdzie oraz gdzie Jest tak, ponieważ jest na a jest określona jako Należy wykazać, że co jest równoważne Ponieważ to wiadomo, że skąd Dowodzi to Zakładając teraz należy dowieść można to zrobić naśladując powyższe rozumowanie, jednak zostanie wykorzystany fakt, że podgrupy normalne i jądra to te same obiekty – ta metoda zostanie wykorzystana również w dowodzie części (7). Z twierdzenia o homomorfizmie naturalnym (zob. rozkład grupy ilorazowej) gdzie jest homomorfizmem naturalnym. Złożenie również jest homomorfizmem; jego jądrem jest
    Zatem skąd, z części (4),
    Jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną w dziedzinie, zatem co należało dowieść.
  9. ↑ Każdy z oraz pociąga drugi. Założywszy prawdziwość jednego, a więc dwóch z nich, i mając homomorfizm uzyskuje się
    Z (*) wiadomo, że Co do obrazu, ponieważ jest na z założenia, a jest na jako homomorfizm naturalny, zatem ich złożenie również jest „na”. Zatem i (#) staje się
  10. ↑ Jeżeli są normalne, a nawet tylko permutowalne, to jest w istocie ich iloczynem kompleksowym w szczególności oba powyższe warunki są spełnione, gdy jest przemienna.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. ↑ Derek John Scott Robinson: An Introduction to Abstract Algebra. Walter de Gruyter, 2003, s. 64. ISBN 978-3-11-017544-8.
  2. ↑ J.F. Humphreys: A Course in Group Theory. Oxford University Press, 1996, s. 65. ISBN 978-0-19-853459-4.
  3. ↑ a b H.E. Rose: A Course on Finite Groups. Springer, 2009, s. 78. ISBN 978-1-84882-889-6.
  4. ↑ a b J.L. Alperin, Rowen B. Bell: Groups and Representations. Springer, 1995, s. 11. ISBN 978-1-4612-0799-3.
  5. ↑ I. Martin Isaacs: Algebra: A Graduate Course. American Mathematical Soc., 1994, s. 35. ISBN 978-0-8218-4799-2.
  6. ↑ a b Joseph Rotman: An Introduction to the Theory of Groups. Wyd. IV. Springer, 1995, s. 37–38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
  7. ↑ W. Keith Nicholson: Introduction to Abstract Algebra. Wyd. IV. John Wiley & Sons, 2012, s. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.
  8. ↑ Steven Roman: Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach. Springer Science & Business Media, 2011, s. 113–115. ISBN 978-0-8176-8301-6.
  9. ↑ Jonathan K. Hodge, Steven Schlicker, Ted Sundstrom: Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach. CRC Press, 2013, s. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.
  10. ↑ Robert Wilson: The Finite Simple Groups. Springer, 2009, s. 7. ISBN 978-1-84800-988-2.
  11. ↑ W.R. Scott: Group Theory. Prentice Hall, 1964, s. 27.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Twierdzenie_o_odpowiedniości&oldid=72390970”