Zbiór Cantora
Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith[2].
Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.
Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Podstawowa konstrukcja
[edytuj | edytuj kod]Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych takich że
- zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych.
W kroku bazowym deklarujemy, że
- zbiór to odcinek
(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.
- Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór tak, że jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ). Każdy z odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc (gdzie to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek jest spełniony).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Cantor_set_in_seven_iterations.svg/729px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg.png)
Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:
Alternatywna definicja
[edytuj | edytuj kod]Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać[3]:
gdzie Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).
Modyfikacje konstrukcji
[edytuj | edytuj kod]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/Cantorcubes.gif/300px-Cantorcubes.gif)
W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory tak że każdy z nich jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych długości Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.
Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych tak, że każdy zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia
Następnie, przypuśćmy, że zbiór jest już wyznaczony i jest on sumą rozłącznych odcinków domkniętych, W centrum każdego z odcinków wybieramy otwarty pododcinek długości Kładziemy
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Smith-Volterra-Cantor_set.svg/512px-Smith-Volterra-Cantor_set.svg.png)
Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako
Podstawowe właściwości
[edytuj | edytuj kod]Trójkowy zbiór Cantora
- ma moc continuum
- jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
- jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka
- jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue’a),
- jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów domknięto-otwartych i takich, że W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych
Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi
Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).
Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy
Zbiór Cantora w szerszym sensie
[edytuj | edytuj kod]Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.
Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora
[edytuj | edytuj kod]Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, „Acta Mathematica” 4 (1884), s. 381–392.
- ↑ Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ISBN 1-55786-106-4, s. 121.
- ↑ Zbiór Cantora, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .