Oktawy Cayleya

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo - osiem), liczby Cayleya - rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Zostały równolegle odkryte przez dwóch matematyków: Johna T. Gravesa w roku 1843 i Arthura Cayley'a w roku 1845.

Oktawy są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.

Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 i e7. Gdzie e1...e7 podniesione do kwadratu dają -1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniem wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:

· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
e1 e1 -1 e4 e7 -e2 e6 -e5 -e3
e2 e2 -e4 -1 e5 e1 -e3 e7 -e6
e3 e3 -e7 -e5 -1 e6 e2 -e4 e1
e4 e4 e2 -e1 -e6 -1 e7 e3 -e5
e5 e5 -e6 e3 -e2 -e7 -1 e1 e4
e6 e6 e5 -e7 e4 -e3 -e1 -1 e2
e7 e7 e3 e6 -e1 e5 -e4 -e2 -1

Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) - kolumny (ej). Stąd też:

e_i e_j = - e_j e_i = -e_k \,
e_i e_j = e_k \rightarrow e_{i+1} e_{j+1} = e_{k+1} \,
e_{2i} e_{2j} = e_{2k} \,

Fanoqc7.svg

Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównanie z tabelką u góry może pomóc w jej zrozumieniu i zapamiętaniu.

Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów.

Szczególnym przypadkiem oktaw Cayleya są:

Oktawy Cayleya są szczególnym przypadkiem:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]