Półgrupa

Półgrupa – struktura algebraiczna, na którą składa się pewien zbiór A wraz z określonym w nim działaniem $(+:A\times A\rightarrow A)$, przy czym działanie to musi być:

• łączne: $\forall_{a,b,c\in A} (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$
• wewnętrzne: $\forall_{a,b\in a}a+b\in A$

Szczególnymi przypadkami półgrup są monoid i grupa.

Przykłady

• Liczby całkowite dodatnie z dodawaniem.
• Macierze kwadratowe stopnia $n$ z działaniem mnożenia macierzy.
• Zbiór mas umieszczonych w punktach zbioru wypukłego $W\subseteq\mathbb{R}^n$ z działaniem, które dwóm masom przyporządkowuje ich środek ciężkości (półgrupa zadana na zbiorze $\mathbb{R}_{+}\times W$):

$((m_1,\vec{x}_1), (m_2,\vec{x}_2)) \mapsto (m_1+m_2, \textstyle{\frac{m_1 \vec{x}_1+m_2 \vec{x}_2}{m_1+m_2}})$.