Przestrzeń Foka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Foka nad daną przestrzenią Hilberta \mathcal{H}suma prosta przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego przestrzeni \mathcal{H}. W zależności od doboru iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, niesymetryczny) definiuje się trzy warianty pojęcia przestrzeni Foka (tj. pełną przestrzeń Foka, symetryczną i niesymetryczną). Pojęcie przestrzeni Foka pozwala w mechanice kwantowej na algebraizację opisu stanów kwantowych układów o nieznanej liczbie cząstek.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska rosyjskiego fizyka, Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował je w roku 1932[1] dla przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue'a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[2]. W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe[3].

Czasami w polskojęzycznej literaturze używana jest angielska transkrypcja nazwiska W. Foka, skąd spotykana bywa pisownia przestrzeń Focka.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mathcal{H} jest przestrzenią Hilberta opisującą układ składający się z jednej cząstki, to iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta \mathcal{H} \otimes \mathcal{H} opisuje układ składający się z dwóch cząstek tego samego typu. Podobnie przestrzeń

\mathcal{H}^{\otimes n }= \underbrace{\mathcal{H} \otimes \ldots\otimes \mathcal{H}}_{n \rm{- razy} }

opisuje układ n cząstek tego samego typu. Układ o dowolnej liczbie cząstek, w którym występują zjawiska ich kreacji oraz anihilacji, można opisać jako sumę prostą przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego tj.

\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\otimes n}.

W zależności od tego, czy w danym układzie występują bozony, czy też fermiony, należy dokonać odpowiednio symetryzacji (poprzez symetryczny iloczyn tensorowy) bądź też antysymetryzacji (poprzez antysymetryczny) przestrzeni

\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\otimes n}.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy w przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Niech u_1, \ldots, u_n \in \mathcal{H} oraz Sn oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2, ..., n}. Element przestrzeni

\mathcal{H}^{\otimes n}=\mathcal{H}\otimes\ldots\otimes \mathcal{H}

postaci

u_1 \vee u_2\vee \ldots \vee u_n := P^{(n)}(u_1 \otimes u_2 \otimes \ldots \otimes u_n),

gdzie

P^{(n)} \colon u_1 \otimes u_2 \otimes \ldots \otimes u_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} u_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes u_{\sigma(n)},

nazywany jest symetrycznym iloczynem tensorowym elementów u1, ..., un, natomiast element postaci

u_1 \wedge u_2 \wedge \ldots \wedge u_n := \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon_{\sigma }u_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes u_{\sigma(n)},

nazywany jest antysymetrycznym iloczynem tensorowym elementów u1, ..., un, przy czym symbol \epsilon_{\sigma} oznacza znak permutacji \sigma (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni \mathcal{H}^{\otimes n}, generowanej przez wektory u_1 \vee \ldots \vee u_n (odpowiednio u_1 \wedge \ldots \wedge u_n), gdzie u1, ..., un przebiegają całą przestrzeń \mathcal{H}, nazywane jest n-tym symetrycznym (odpowiednio antysymetrycznym) iloczynem tensorowym przestrzeni \mathcal{H} i oznaczane symbolem \mathcal{H}^{\vee n} (odpowiednio, \mathcal{H}^{\wedge n} w przypadku antysymetrycznym).

Konstrukcja przestrzeni Foka i jej warianty[edytuj | edytuj kod]

W zależności od używanego rodzaju iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, antysymetryczny) dla danej przestrzeni Hilberta \mathcal{H} definiuje się

  • pełną przestrzeń Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad \mathcal{H}:
\Phi(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\otimes n}= \mathbb{C} \oplus \mathcal{H} \oplus ( \mathcal{H} \otimes \mathcal{H})\oplus \cdots.

Inne oznaczenia: \Gamma_f, bądź \Gamma_{fr}.

  • symetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad \mathcal{H}:
\Gamma(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\vee n}.

Inne oznaczenia: \Gamma_s.

  • antysymetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad \mathcal{H}:
\Psi(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\wedge n}.

Inne oznaczenia: \Gamma_s.

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków, n-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią n-tej cząstki, a jej elementy wektorami n-tej cząstki.

Każdy element f pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci

f= (f_0, f_1, \ldots, f_n, \ldots),

(często nieformalnie dla skrócenia długości zapisu pisze się krótko \scriptstyle f= \sum_{n \geq 0} f_n, bądź \scriptstyle f= \bigoplus_{n \geq 0} f_n), gdzie f_n jest elementem przestrzeni \mathcal{H}^{\otimes n} (odpowiednio, \mathcal{H}^{\vee n}, \mathcal{H}^{\wedge n}) oraz

\|f\|^{2}= \sum_{n \geq 0} \|f_n\|^2 < \infty .

Wektor

\left(1,0 , 0, \ldots \right) (zapisywany często w postaci sumy prostej 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus \cdots)

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem \Omega, bądź  \textbf{1} .

Przestrzeń liniowa \Gamma_{00}(\mathcal{H}) generowana przez wektory postaci u^{\otimes n}, gdzie n przebiega zbiór liczb naturalnych, a u przestrzeń \mathcal{H}, tj.

\Gamma_{00}(\mathcal{H}) = \mbox{Lin}\left\{ u^{\otimes n} \colon n \geq 0, u \in \mathcal{H}\right\},

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni \Gamma(\mathcal{H}). Przestrzeń \Gamma_{00}(\mathcal{H}) nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego elementu u przestrzeni \mathcal{H} wzór:

\varepsilon(u) := \left(1, u, \frac{u^{\otimes 2}}{\sqrt{2}}, \ldots, \frac{u^{\otimes n}}{\sqrt{n!}}, \ldots
\right)

określa element przestrzeni \Gamma(\mathcal{H}) \subseteq \Phi(\mathcal{H}), nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora u. W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym \varepsilon(0).

Jeżeli u i v należą do \mathcal{H}, to

\left \langle \varepsilon(u), \varepsilon(v) \right \rangle = e^{\left \langle u, v \right \rangle} .

Dla dowolnego podzbioru S przestrzeni \mathcal{H} symbol \mathcal{E}(S) oznacza podprzestrzeń

\mathcal{E}(S):= \mbox{Lin} \left\{\varepsilon(u) \colon u \in S \right\} .

W szczególności, gdy S = \mathcal{H} można pisać krótko \mathcal{E}(S)=\mathcal{E}. Zbiór \left\{\varepsilon(u) \colon u \in \mathcal{H} \right\} jest liniowo niezależny. Co więcej, \mathcal{E} jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni \Gamma(\mathcal{H}).

Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli \mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2 są przestrzeniami Hilberta, to

\Gamma(\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2)= \Gamma(\mathcal{H}_1) \otimes \Gamma(\mathcal{H}_2) ,

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację \Gamma(\mathcal{H}) = e^{\mathcal{H}}, to powyższy wzór przybiera postać

e^{\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2}= e^{\mathcal{H}_1 } \otimes e^{\mathcal{H}_2 },

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole'a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli \mathcal{H} jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz (e_n)_{n \in \mathbb{N}} jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

  • \left\{ \left. \Omega, e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n} \right| i_j=1,2, \ldots, \ j=1,2, \ldots, n, \ n=1,2, \ldots \right\},
  • \left\{\Omega, \left. \left( \frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}\right)^{\frac{1}{2}} e_{i_1}^{r_1} \vee e_{i_2}^{r_2} \vee\cdots \vee e_{i_k}^{r_k} \right| r_1+\ldots + r_k=n, \ 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k, \ k, n = 1,2, \ldots \right\},
  • \left\{ \left. \Omega, (n!)^{\frac{1}{2} } e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge\ldots \wedge e_{i_n} \right| 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_n, n = 1,2, \ldots \right\},

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni \Phi(\mathcal{H}), \Gamma(\mathcal{H}) i \Psi(\mathcal{H}). Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Niech u będzie ustalonym elementem przestrzeni \mathcal{H}.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Operatory kreacji i anihilacji.

Funkcje

a_0(u) \colon \{ \varepsilon(v) \colon v \in \mathcal{H} \} \to \Gamma(\mathcal{H})
a_0^{\dagger}(u) \colon \{ \varepsilon(v) \colon v \in \mathcal{H} \} \to \Gamma(\mathcal{H})

dane wzorami

a_0(u)\varepsilon(v) = \left \langle u, v \right \rangle \varepsilon(v) ,
a_0^{\dagger}(u)\varepsilon(v) = \frac{d}{dt} \left.\varepsilon(v+tu)\right|_{t=0}

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na \mathcal{E} w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór \mathcal{E} jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń \mathcal{E} jest gęsta w \Gamma(\mathcal{H}), tak więc a_0(u)^{*}\, i a_0^{\dagger}(u)^{*} są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

a_0^\dagger(u) \subseteq a_0(u)^*, \quad \overline{a_0^\dagger(u)}= a_0(u)^*, \quad \overline{a_0(u)} = a_0^\dagger(u)^*,[5]

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

a(u) := a_{0}^{\dagger}(u)^{*}

oraz

a^{*}(u) :=a_0(u)^{*}\,.

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór \Gamma_{00}(\mathcal{H}) jest ich dziedziną istotną (podobnie jak \mathcal{E}, na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

a(u)v^{\otimes n} = \sqrt{n} \left \langle u, v \right \rangle v^{\otimes (n-1)}

oraz

a^{*}(u)v^{\otimes n} = \sqrt{n+1} P^{(n+1)}(u \otimes v^{\otimes n}).

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni n do n-1 cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni n- do (n+1)-cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

D(a(u)):= \left\{ f \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} \| a(u)f_n \|^2 < \infty \right \},

oraz dla operatora kreacji

D(a^{*}(u)):= \left\{ f \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} \| a^{*}(u)f_n \|^2 < \infty \right \}[6].

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

[a(u), a^{*}(v)]=\left \langle u, v \right \rangle I,
\{a(u), a(v)\}=\{a^{*}(u), a^{*}(v)\}=0 \,

gdzie [ \cdot , \cdot ] oznacza komutator operatorów, a \{ \cdot, \cdot \} ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

\sup_{\|h\|=1} \|a(u)h\| \geq \sup_{v \in \mathcal{H}} \| a(u) e^{- \frac{\|v\|^{2}}{2}}\varepsilon(v) \| = \sup_{v \in \mathcal{H}}|\left\langle u, v \right \rangle |= \infty.

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – a^{-}_{\left \langle u \right |} i kreacji – a^{+}_{\left|u \right \rangle} , przy czym wektor "bra" jest elementem przestrzeni sprzężonej do \mathcal{H}.

Operator liczby cząstek[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Operator liczby cząstek.

Operator liczby cząstek N na \Gamma(\mathcal{H}) określony jest w następujący sposób:

N \colon D(N) \subset \Gamma(\mathcal{H}) \rightarrow \Gamma(\mathcal{H}), \ \ Nu= (nu_n)_{n \geq 0},

gdzie

D(N):= \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} n^2 \|u_n\|^2 < \infty \right\}.

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na \Gamma(\mathcal{H}). Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek \sqrt{N}.

Zbiór \Gamma_{00}(\mathcal{H}) jest dziedziną istotną operatora N, tzn. jest domknięciem obcięcia operatora N do zbioru \Gamma_{00}(\mathcal{H}). W szczególności, dla dowolnej funkcji f\colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}, operator f(N) jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

D(f(N)):= \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} n^2 |f(n)|^2\|u_n\|^2 < \infty \right\},
f(N)u= (f(n)u_n)_{n \geq 0}.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej n\geq 0 iloczyn tensorowy \mathbb{C}^{\otimes n} można w naturalny sposób utożsamić z \mathbb{C}, skąd

\Gamma(\C) = \Phi(\C) = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} \oplus \ldots = \ell^2.

Dla każdej liczby zespolonej z wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

\varepsilon(z)=\left(1, z, \frac{z^{2}}{\sqrt{2!}}, \ldots, \frac{z^n}{\sqrt{n!}}, \ldots \right)

i należy do przestrzeni \ell^2.

Niech \mu będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni L^2(\mu) rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite'a:

e^{zx-\frac{1}{2}z^2}= \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}H_n(x),

gdzie H_n jest wielomianem Hermite'a stopnia n. Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm U \colon \Gamma(\mathbb{C}) \rightarrow L^2(\mu), że

[Ue(z)](x)=e^{zx-\frac{1}{2}z^2},\, z\in \mathbb{C} .
Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech B=\{B(t) \colon t \geq 0\} będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną \mathbb{B} na przestrzeni funkcji ciągłych C([0,\infty)). Dla dowolnej funkcji zespolonej f, będącej elementem przestrzeni L^2([0,\infty)) (z miarą Lebesgue'a), niech

\int_{0}^{\infty}f \ dB

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu B. Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

U \colon \Gamma(L^2([0,\infty))) \rightarrow L^2(\mathbb{B}),

który spełnia warunek

[Ue(f)](B)= \exp{ \left(\int_{0}^{\infty}f dB - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} f(t)^2 dt \right)}.

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].

Przypisy

  1. V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622-647, 1932. doi:10.1007/BF01344458. 
  2. J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222-245, 1953. doi:10.1073/pnas.37.7.417. 
  3. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  4. H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157-242, 1966. doi:10.2977/prims/1195195888. 
  5. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  6. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  7. I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57-103, 1959. Paryż. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123-134. ISBN 3764326972. (ang.)
  2. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201-210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  3. Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53-54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
  4. Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207-209. ISBN 0125850026. (ang.)