Kąt

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Kąt płaski)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy figury geometrii płaskiej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Kąt – obszar powstały z rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch różnych półprostych o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi[1]. Półproste nazywane są ramionami kąta, wspólny początek półprostych nazywany jest wierzchołkiem kąta.

Równoważnie kąt można zdefiniować jako część wspólną lub jako sumę dwóch półpłaszczyzn z brzegiem wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste.

Wielu autorów wprowadza także pojęcie kąta otwartego jako wnętrza tak zdefiniowanych zbiorów.

Dodatkowo definiuje się kąt pełny jako cała płaszczyzna i kąt zerowy jak półprosta. W przypadku kąta pełnego niekiedy należy dodatkowo wyróżnić na płaszczyźnie półprostą jako ramiona i początek półprostej jako wierzchołek kąta.

W artykule opisano kąt płaski na płaszczyźnie euklidesowej z uogólnieniami w oddzielnej sekcji.

Miara kąta[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: miara kąta.

Kąt liczbowo wyrażony w jednostkach kąta nazywa się miarą kąta. Często, niezbyt precyzyjnie, kątem nazywa się jego miarę.

Kąt skierowany[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: kąt skierowany.

Kątem obrotu nazywa się miarę kąta (skierowanego) między dowolną prostą przechodzącą przez środek (punkt stały) obrotu, a prostą będącą jej obrazem (wspomniane dwie proste przecinają się we wspomnianym środku wyznaczając kąt w powyższym sensie.

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

Kąty można też klasyfikować ze względu na pojęcia zawierania (kąty zerowy, półpełny i pełny), wypukłości (kąty wypukły i wklęsły), bądź prostopadłości lub przystawania (kąt prosty; kąty ostry i rozwarty – z zawieraniem). Ponieważ dwa kąty płaskie o równej tej samej mierze są przystające, to klasyfikacji kątów można dokonać grupując je również względem ustalonego zakresu ich miar (niżej używane będą miara łukowa wraz z miarą stopniową podaną w nawiasie):

  • zerowy – kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy; jego miara jest równa 0 rad (lub 0°);
  • półpełny – każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej; jego miara wynosi π rad (lub 180°);
  • pełny – kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie; jego miara jest równa 2π rad (lub 360°);
  • prosty – kąt przystający do kąta mającego z nim wspólne jedno tylko ramię, podczas gdy pozostałe ramiona tworzą prostą[a]; jego miara wynosi π/2 rad (lub 90°);
  • ostry – kąt ściśle zawierający się w pewnym kącie prostym; ma miarę większą od 0 rad (lub 0°), lecz mniejszą od π/2 rad (lub 90°);
  • rozwarty – kąt ściśle zawarty w pewnym kącie półpełnym, lecz nie będący ani ostrym, ani prostym; ma miarę większą niż π/2 rad (lub 90°), lecz mniejszą niż π rad (lub 180°);
  • wypukły – kąt będący figurą wypukłą; miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π rad (lub 180°) albo równa 2π rad (lub 360°);
  • wklęsły – kąt, który nie jest wypukły; miara takiego kąta jest większa niż π rad (lub 180°), lecz mniejsza niż 2π rad (lub 360°).

Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne) lub pokrywają się (jeden z kątów jest wtedy zerowy, a drugi pełny) jeden z kątów można jednoznacznie zidentyfikować jako wypukły, drugi zaś jako wklęsły (w przeciwnym przypadku oba są wypukłe); czasem możliwe jest też wyróżnienie wśród nich kąta rozwartego bądź ostrego.

Kąty wyznaczane przez proste[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: prosta.
Gdy proste są równoległe, zaś przecina je obie, to pary kątów oznaczone numerem o tej samej parzystości są przystające (tego samego koloru – zawsze jako wierzchołkowe).

Dowolne dwie nierównoległe proste na płaszczyźnie wyznaczają dwie pary kątów: pary mające wspólne ramię nazywa się kątami przyległymi, z kolei pary mające wspólny wyłącznie wierzchołek nazywa się wierzchołkowymi. Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego, a miary kątów wierzchołkowych są równe. Kąty mające jedno wspólne ramię, pozostałe zaś leżące pod kątem prostym, nazywa się kątami dopełniającymi; suma miar kątów dopełniających jest więc równa mierze kąta prostego[b].

Dowolne dwie proste przecięte (nierównoległą do żadnej z nich) trzecią prostą nazywaną sieczną lub transwersalą (prostą transwersalną) wyznaczają łącznie osiem kątów wokół dwóch punktów przecięcia (por. rys. obok). Pary kątów o ramionach na ustalonej prostej lub są przyległe bądź wierzchołkowe (opowiednio: pary różnej lub tej samej parzystości z kątów bądź ).

Cztery kąty leżące między prostymi nazywa się wewnętrznymi (), a pozostałe cztery – zewnętrznymi (); pary kątów nieprzyległych leżących po jednej stronie prostej nazywa się jednostronnymi (różnokolorowe pary z kątów bądź z kątów ), z kolei pary kątów nieprzyległych branych z różnych stron tej prostej nazywa się naprzemianległymi[c] (różnokolorowe pary z kątów bądź z kątów ). W ten sposób wyróżnia się po dwie pary kątów:

  • jednostronnych wewnętrznych ( oraz ),
  • jednostronnych zewnętrznych ( oraz ),
  • naprzemianległych wewnętrznych ( oraz ),
  • naprzemianległych zewnętrznych ( oraz ).

Cztery pary nieprzyległych kątów jednostronnych, które nie są wewnętrzne, ani zewnętrzne, nazywa się odpowiadającymi[c] (; ; oraz ).

Twierdzenie 
Proste przecięte transwersalą są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedna para kątów wierzchołkowych bądź odpowiadających jest przystająca (równej miary).

Funkcje trygonometryczne kątów dopełniających („komplementarnych”[d]) dany kąt nazywa się kofunkcjami: sinus kąta dopełniającego nazywa się kosinusem danego kąta, podobnie ma się rzecz z tangensem i kotangensem oraz sekansem i kosekansem. Kofunkcją dla kofunkcji danego kąta jest funkcja tego kąta, gdyż kątem dopełniającym do kąta dopełniającego dany kąt jest on sam – dlatego kofunkcją dla kosinusa, kotangensa, czy kosekansa są odpowiednio sinus, tangens i sekans. Analogiczne uwagi obowiązują dla funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych oraz area.

Kąty związane z okręgiem[edytuj | edytuj kod]

Kąty oparte na tym samym łuku okręgu: ogólny (czarny), wpisany (niebieski), środkowy (zielony) oraz kąt dopisany (czerwony).

Dowolny kąt, który wycina z okręgu ustalony łuk nazywa się opartym na tym łuku[e]. Kąt, którego wierzchołek leży w środku danego okręgu nazywa się środkowym; ponieważ okrąg jest zbiorem punktów równoodległych od jego środka, to „ilość” punktów (długość łuku) wspólna z danym kątem środkowym w stosunku do ich odległości od środka opisuje „rozmiar” tego kąta – obserwacja ta została wykorzystana do określenia miary łukowej dowolnego kąta, jak przedstawiono to wyżej. Kątem wpisanym w ustalony okrąg nazywa się dowolny kąt, którego wierzchołek leży na tym okręgu, a jego ramiona są zarazem jego siecznymi, z kolei kąt dopisany do okręgu w wybranym jego punkcie, to kąt ostry o wierzchołku w tymże punkcie, którego jedno ramię jest sieczną, a drugie – styczną wspomnianego okręgu; można go traktować jako zdegenerowany przypadek kąta wpisanego, w którym jedna z siecznych staje się styczną.

Twierdzenie o kątach wpisanych 
Miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe.
Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym 
Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.
Twierdzenie o stycznej i siecznej 
Miara kąta dopisanego wycinającego dany łuk jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym łuku.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Definiuje się również kąty między innymi płaskimi figurami geometrycznymi niż (pół)proste: tego samego rodzaju, np. wektorami (analogicznie), krzywymi (w danym punkcie, w tym okręgami: jako kąt między stycznymi, o ile istnieją i są wyznaczone jednoznacznie).

Rozpatruje się także pojęcie kąta w przestrzeni trójwymiarowej i wielowymiarowej, np. między płaszczyznami (definiowane np. za pomocą wektorów normalnych), czy prostą i płaszczyzną (jako kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę).

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Zgodnie z definicjami w kolejnej sekcji: kąt przystający do kąta doń przyległego.
  2. W polskiej nomenklaturze brak jest terminów opisujących związek między innymi parami kątów, obecnych jednak w innych językach, np. kątów o wspólnym jednym i tylko jednym ramieniu (ang. adjacent angles, „kąty sąsiednie/sąsiadujące, przylegające”; hiszp. ángulos consecutivos, „następujące, sąsiadujące”), czy mających wspólne dokładnie dwa ramiona (ang. explementary angles, „kąty wypełniające”; ang. conjugate angles, hiszp. ángulos conjugados, „kąty sprzężone”). Suma miar kątów mających dokładnie jedno wspólne ramię jest równa mierze kąta wyznaczonego przez pozostałe ramiona tych kątów; suma miar kątów o dwóch wspólnych ramionach jest równa mierze kąta pełnego.
  3. a b Nieprzyległe kąty naprzemianległe, które nie są wewnętrzne ani zewnętrzne, w przeciwieństwie do nieprzyległych jednostronnych niewewnętrznych i niezewnętrznych nie mają swojej ustalonej nazwy (z tego też powodu zwykle nie zalicza się ich do kątów naprzemianległych).
  4. Łac. complementum, „dopełnienie”; od complēre, „wypełnić, uzupełnić”, od com-, „wraz, z, razem; dogłębnie” + plēre, „napełniać”; gr. πλήρης plērēs, „pełny”, od πλήθειν plēthein, „być pełnym”.
  5. Wskazanie końców łuku jest niewystarczające, dla ustalonych dwóch ramion dany kąt można wybrać na dwa sposoby – do wyróżnienia jednego z nich, oprócz posiłkowania się miarą lub inną własnością kąta możliwe jest też doprecyzowanie łuku, który dany kąt wycina w okręgu: do tego celu wykorzystuje się również pojęcia łuku skierowanego/zorientowanego (zob. relacja leżenia między) lub kąta skierowanego/zorientowanego.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Encyklopedia dla wszystkich, Warszawa: WNT, 2000, s. 135, ISBN 83-204-2334-1.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]