Kąt

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Kąt płaski)
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy figury geometrii płaskiej. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Kąt (płaski) w geometrii euklidesowej – każda z dwóch części (tj. podzbiorów) płaszczyzny zawartych między dwiema półprostymi (wraz z nimi), nazwanymi ramionami, o wspólnym początku, zwanym wierzchołkiem. Czyli jest to część wspólna dwóch półpłaszczyzn wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste, wraz z ich brzegami nazywanymi ramionami; ich punkt przecięcia to wierzchołek).

W artykule opisano kąt płaski na płaszczyźnie euklidesowej z uogólnieniami w oddzielnej sekcji.

Miara kąta[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: miara kąta.

Kąt liczbowo wyrażony w jednostkach kąta nazywa się miarą kąta. Często, niezbyt precyzyjnie, kątem nazywa się jego miarę.

Kąt skierowany[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: kąt skierowany.

Kątem obrotu nazywa się miarę kąta (skierowanego) między dowolną prostą przechodzącą przez środek (punkt stały) obrotu, a prostą będącą jej obrazem (wspomniane dwie proste przecinają się we wspomnianym środku wyznaczając kąt w powyższym sensie.

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

Kąty można też klasyfikować ze względu na pojęcia zawierania (kąty zerowy, półpełny i pełny), wypukłości (kąty wypukły i wklęsły), bądź prostopadłości lub przystawania (kąt prosty; kąty ostry i rozwarty – z zawieraniem). Ponieważ dwa kąty płaskie o równej tej samej mierze są przystające, to klasyfikacji kątów można dokonać grupując je również względem ustalonego zakresu ich miar (niżej używane będą miara łukowa wraz z miarą stopniową podaną w nawiasie):

  • zerowy – kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy; jego miara jest równa 0 rad (lub 0°);
  • półpełny – każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej; jego miara wynosi π rad (lub 180°);
  • pełny – kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie; jego miara jest równa 2π rad (lub 360°);
  • prosty – kąt przystający do kąta mającego z nim wspólne jedno tylko ramię, podczas gdy pozostałe ramiona tworzą prostą[1]; jego miara wynosi π/2 rad (lub 90°);
  • ostry – kąt ściśle zawierający się w pewnym kącie prostym; ma miarę większą od 0 rad (lub 0°), lecz mniejszą od π/2 rad (lub 90°);
  • rozwarty – kąt ściśle zawarty w pewnym kącie półpełnym, lecz nie będący ani ostrym, ani prostym; ma miarę większą niż π/2 rad (lub 90°), lecz mniejszą niż π rad (lub 180°);
  • wypukły – kąt będący figurą wypukłą; miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π rad (lub 180°) albo równa 2π rad (lub 360°);
  • wklęsły – kąt, który nie jest wypukły; miara takiego kąta jest większa niż π rad (lub 180°), lecz mniejsza niż 2π rad (lub 360°).

Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne) lub pokrywają się (jeden z kątów jest wtedy zerowy, a drugi pełny) jeden z kątów można jednoznacznie zidentyfikować jako wypukły, drugi zaś jako wklęsły (w przeciwnym przypadku oba są wypukłe); czasem możliwe jest też wyróżnienie wśród nich kąta rozwartego bądź ostrego.

Kąty wyznaczane przez proste[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: prosta.
Gdy proste \scriptstyle m, n są równoległe, zaś \scriptstyle t przecina je obie, to pary kątów oznaczone numerem o tej samej parzystości są przystające (tego samego koloru – zawsze jako wierzchołkowe).

Dowolne dwie nierównoległe proste na płaszczyźnie wyznaczają dwie pary kątów: pary mające wspólne ramię nazywa się kątami przyległymi, z kolei pary mające wspólny wyłącznie wierzchołek nazywa się wierzchołkowymi. Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego, a miary kątów wierzchołkowych są równe. Kąty mające jedno wspólne ramię, pozostałe zaś leżące pod kątem prostym, nazywa się kątami dopełniającymi; suma miar kątów dopełniających jest więc równa mierze kąta prostego[2].

Dowolne dwie proste \scriptstyle m, n przecięte (nierównoległą do żadnej z nich) trzecią prostą \scriptstyle t, nazywaną sieczną lub transwersalą (prostą transwersalną) wyznaczają łącznie osiem kątów wokół dwóch punktów przecięcia (por. rys. obok). Pary kątów jednokolorowych są przyległe lub wierzchołkowe (pary różnej lub tej samej parzystości z kątów \scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{blue}4 bądź \scriptstyle \color{red}5\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7\color{black}, \color{red}8).

Cztery kąty leżące między prostymi \scriptstyle m, n nazywa się wewnętrznymi (\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}6), a pozostałe cztery – zewnętrznymi (\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}2\color{black}, \color{red}7\color{black}, \color{red}8); pary kątów nieprzyległych leżących po jednej stronie prostej \scriptstyle t nazywa się jednostronnymi (różnokolorowe pary z kątów \scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}8 bądź z kątów \scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7), z kolei pary kątów nieprzyległych branych z różnych stron tej prostej nazywa się naprzemianległymi[3] (różnokolorowe pary z kątów \scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{blue}4\color{black}, \color{red}6\color{black}, \color{red}7 bądź z kątów \scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{blue}3\color{black}, \color{red}5\color{black}, \color{red}8). W ten sposób wyróżnia się po dwie pary kątów:

  • jednostronnych wewnętrznych (\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{red}6 oraz \scriptstyle \color{blue}4\color{black}, \color{red}5),
  • jednostronnych zewnętrznych (\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{red}8 oraz \scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{red}7),
  • naprzemianległych wewnętrznych (\scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{red}5 oraz \scriptstyle \color{blue}4\color{black}, \color{red}6),
  • naprzemianległych zewnętrznych (\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{red}7 oraz \scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{red}8).

Cztery pary nieprzyległych kątów jednostronnych, które nie są wewnętrzne, ani zewnętrzne, nazywa się odpowiadającymi[3] (\scriptstyle \color{blue}1\color{black}, \color{red}5; \scriptstyle \color{blue}2\color{black}, \color{red}6; \scriptstyle \color{blue}3\color{black}, \color{red}7 oraz \scriptstyle \color{blue}4\color{black}, \color{red}8).

Twierdzenie 
Proste \scriptstyle m, n przecięte transwersalą \scriptstyle t są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedna para kątów wierzchołkowych bądź odpowiadających jest przystająca (równej miary).

Funkcje trygonometryczne kątów dopełniających („komplementarnych”[4]) dany kąt nazywa się kofunkcjami: sinus kąta dopełniającego nazywa się kosinusem danego kąta, podobnie ma się rzecz z tangensem i kotangensem oraz sekansem i kosekansem. Kofunkcją dla kofunkcji danego kąta jest funkcja tego kąta, gdyż kątem dopełniającym do kąta dopełniającego dany kąt jest on sam – dlatego kofunkcją dla kosinusa, kotangensa, czy kosekansa są odpowiednio sinus, tangens i sekans. Analogiczne uwagi obowiązują dla funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych oraz area.

Kąty związane z okręgiem[edytuj | edytuj kod]

Kąty oparte na tym samym łuku okręgu: ogólny (czarny), wpisany (niebieski), środkowy (zielony) oraz kąt dopisany (fioletowy).

Dowolny kąt, który wycina z okręgu ustalony łuk nazywa się opartym na tym łuku[5]. Kąt, którego wierzchołek leży w środku danego okręgu nazywa się środkowym; ponieważ okrąg jest zbiorem punktów równoodległych od jego środka, to „ilość” punktów (długość łuku) wspólna z danym kątem środkowym w stosunku do ich odległości od środka opisuje „rozmiar” tego kąta – obserwacja ta została wykorzystana do określenia miary łukowej dowolnego kąta, jak przedstawiono to wyżej. Kątem wpisanym w ustalony okrąg nazywa się dowolny kąt, którego wierzchołek leży na tym okręgu, a jego ramiona są zarazem jego siecznymi, z kolei kąt dopisany do okręgu w wybranym jego punkcie, to kąt ostry o wierzchołku w tymże punkcie, którego jedno ramię jest sieczną, a drugie – styczną wspomnianego okręgu; można go traktować jako zdegenerowany przypadek kąta wpisanego, w którym jedna z siecznych staje się styczną.

Twierdzenie o kątach wpisanych 
Miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe.
Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym 
Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.
Twierdzenie o stycznej i siecznej 
Miara kąta dopisanego wycinającego dany łuk jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym łuku.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Definiuje się również kąty między innymi płaskimi figurami geometrycznymi niż (pół)proste: tego samego rodzaju, np. wektorami (analogicznie), krzywymi (w danym punkcie, w tym okręgami: jako kąt między stycznymi, o ile istnieją).

Rozpatruje się także pojęcie kąta w przestrzeni trójwymiarowej i wielowymiarowej, np. między płaszczyznami (definiowane np. za pomocą wektorów normalnych), czy prostą i płaszczyzną (jako kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę).

Wiki letter w.svg Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Zgodnie z definicjami w kolejnej sekcji: kąt przystający do kąta doń przyległego.
  2. W polskiej nomenklaturze brak jest terminów opisujących związek między innymi parami kątów, obecnych jednak w innych językach, np. kątów o wspólnym jednym i tylko jednym ramieniu (ang. adjacent angles, „kąty sąsiednie/sąsiadujące, przylegające”; hiszp. ángulos consecutivos, „następujące, sąsiadujące”), czy mających wspólne dokładnie dwa ramiona (ang. explementary angles, „kąty wypełniające”; ang. conjugate angles, hiszp. ángulos conjugados, „kąty sprzężone”). Suma miar kątów mających dokładnie jedno wspólne ramię jest równa mierze kąta wyznaczonego przez pozostałe ramiona tych kątów; suma miar kątów o dwóch wspólnych ramionach jest równa mierze kąta pełnego.
  3. 3,0 3,1 Nieprzyległe kąty naprzemianległe, które nie są wewnętrzne ani zewnętrzne, w przeciwieństwie do nieprzyległych jednostronnych niewewnętrznych i niezewnętrznych nie mają swojej ustalonej nazwy (z tego też powodu zwykle nie zalicza się ich do kątów naprzemianległych).
  4. Łac. complementum, „dopełnienie”; od complēre, „wypełnić, uzupełnić”, od com-, „wraz, z, razem; dogłębnie” + plēre, „napełniać”; gr. πλήρης plērēs, „pełny”, od πλήθειν plēthein, „być pełnym”.
  5. Wskazanie końców łuku jest niewystarczające, dla ustalonych dwóch ramion dany kąt można wybrać na dwa sposoby – do wyróżnienia jednego z nich, oprócz posiłkowania się miarą lub inną własnością kąta możliwe jest też doprecyzowanie łuku, który dany kąt wycina w okręgu: do tego celu wykorzystuje się również pojęcia łuku skierowanego/zorientowanego (zob. relacja leżenia między) lub kąta skierowanego/zorientowanego.