Symetria figury

W języku potocznym używa się słów symetria (gr. συμμετρια) oraz symetryczny w odniesieniu do przedmiotu, obrazu itp. składającego się z dwóch części, z których każda jest jakby lustrzanym odbiciem drugiej (w poziomie lub pionie), np. litery A, H, I, M, T, B, C, D, O oraz pary liter pq, bd są symetryczne w tym sensie.

W terminologii matematycznej termin symetria ma znaczenie istotnie szersze. Obejmuje też inne własności figur, np. symetria liter N, S, Z nie jest wprawdzie lustrzana, ale po obrocie o 180º figura wygląda identycznie. Ponadto symetrie w matematyce są ujmowane jako pewnego typu przekształcenia figur geometrycznych. Do symetrii zalicza się obroty o wielokrotności danego kąta (np. o 30º, 60º, 90º,…) oraz wielkie bogactwo symetrii ornamentów, np. rozet w gotyckich katedrach

Symetria jest to więc właściwość figury, bryły lub ogólnie dowolnego obiektu matematycznego (można mówić np. o symetrii równań), polegająca na tym, iż istnieje należące do pewnej zadanej klasy przekształcenie nie będące identycznością, które odwzorowuje dany obiekt na niego samego. Brak takiej właściwości nazywany jest asymetrią. W zależności od klasy dopuszczalnych przekształceń wyróżnia się rozmaite rodzaje symetrii. Tym samym terminem określa się nie tylko obiekty, ale też same przekształcenia.

Najważniejsze typy symetrii geometrycznych

Dla figur płaskich i przestrzennych w zależności od rodzaju przekształcenia wyróżniana jest m.in.:

• symetria środkowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem ustalonego punktu zwanego środkiem symetrii. Na płaszczyźnie symetria środkowa jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o prostopadłych osiach (lub obrót o kąt 180 stopni), w przestrzeni jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych o wzajemnie prostopadłych płaszczyznach symetrii.

Symetria osiowa

• symetria osiowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem zadanej prostej zwanej osią symetrii. Symetria osiowa występuje m.in. w trójkącie Sierpińskiego.
• symetria płaszczyznowa – przekształceniem jest odbicie zwierciadlane figury względem płaszczyzny zwanej płaszczyzną symetrii. Symetria płaszczyznowa występuje m.in. w piramidzie Sierpińskiego oraz kostce Mengera.
• symetria obrotowa (gwiaździsta) – przekształceniem jest na płaszczyźnie obrót figury wokół zadanego punktu o kąt będący podwielokrotnością kąta pełnego, a w przestrzeni wokół zadanej prostej (można wykazać, że musi być to środek masy i prosta przez niego przechodząca).
• symetria z obrotem (zwierciadlano-obrotowa) – na płaszczyźnie jest to złożenie symetrii względem prostej z obrotem o dowolny kąt wokół zadanego punktu. W przestrzeni jest złożeniem symetrii płaszczyznowej z obrotem wokół osi symetrii (symetria cylindryczna). [Niektóre pozycje książkowe podają, że w przestrzeni oś obrotu musi być prostopadła do płaszczyzny symetrii.]
• symetria sferyczna – przekształceniem jest dowolny obrót bryły wokół zadanego punktu. Własność tę posiada m.in. kula.
• symetria parzysta – złożenie parzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni). Przykładem jest symetria środkowa (złożenie dwóch prostopadłych osi symetrii).
• symetria nieparzysta – złożenie nieparzystej liczby symetrii osiowych (na płaszczyźnie) lub płaszczyznowych (w przestrzeni).
• symetria ukośna – uogólnienie symetrii osiowej. Jeśli dane są dwie proste $k$ i $m$ przecinające się pod kątem α, oraz dany jest odcinek $AB,$ to symetria ukośna względem prostej $k,$ w kierunku prostej $m,$ polega na tym, że przez punkty $A$ i $B$ prowadzimy proste $a$ i $b$ równoległe do prostej $m,$ przecinające prostą $k$ odpowiednio w punktach $K1$ i $K2,$ i znajdujemy na nich punkty $A'$ i $B'$ w taki sposób, że odległość od punktu $A$ do $K1$ jest równa odległości od punktu $K1$ do $A'$ oraz analogicznie $|BK2|=|K2B'|.$

Wspólne ogólnienie symetrii środkowej, osiowej i płaszczyznowej

Symetria – przekształcenie $f$ przestrzeni euklidesowej E na siebie, mające pewną hiperpłaszczyznę H punktów stałych i spełniające warunek:

jeśli $x\notin H$ oraz $x'=f(x),$ to prosta $xx'$ jest prostopadła do hiperpłaszczyzny H oraz przecina tę hiperpłaszczyznę w połowie odcinka $xx'.$

W zależności od wymiaru hiperpłaszczyzny H otrzymujemy trzy osobno określone wyżej pojęcia:

• symetria środkowa (wówczas H jest punktem),
• symetria osiowa (H jest prostą),
• symetria płaszczyznowa (H jest płaszczyzną).

Przykłady

Grupa symetrii kwadratu składa się z czterech obrotów o kąty 90º, 180º, 270º i o kąt 0º (czyli przekształcenie tożsamościowe) oraz czterech symetrii osiowych (względem osi poziomej, pionowej i dwóch przekątnych). Złożenie dowolnych dwóch z tych ośmiu przekształceń też należy do tej grupy, ale wynik złożenia zależy od kolejności wykonywania tych przekształceń, tzn. działanie składania ich nie jest przemienne, więc grupa symetrii kwadratu jest nieprzemienna.

W ogólnym ujęciu „symetryczność” może odnosić się także do obiektów niegeometrycznych, jak np. równania, czy macierze i dotyczyć innych własności niż relacje usytuowania w przestrzeni.

Przykłady: liczby palindromiczne, niektóre kwadraty magiczne, trójkąt Pascala, bliźniacze krzyżówki tautogramowe.

Poniższa macierz jest symetryczna (względem głównej przekątnej):

${\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.$

Trójkąt Sierpińskiego

Zbliżonym do symetrii pojęciem jest „samopodobieństwo”, które zakłada istnienie wzajemnie jednoznacznego przekształcenia części zbioru na cały zbiór. Najprostszy przykład to odwzorowanie zbioru liczb parzystych (dodatnich) w zbiór liczb naturalnych $x\to {\frac {1}{2}}x.$ Własność tę jednak mają również bardzo złożone zbiory, np. trójkąt Sierpińskiego, dywan Sierpińskiego i inne fraktale.

Zobacz też

• fraktal
• grupa obrotów
• symetria fizyczna

Bibliografia

• Stanisław Jaśkowski, Matematyka ornamentu, PWN, Warszawa 1957.
• Hermann Weyl, Symetria, PWN, Warszawa 1960.
• G. Birkhoff, S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej, Wyd. 2, Warszawa, PWN 1963.
• Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2000.