Tensor krzywizny Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Tensor krzywizny Riemanna lub tensor Riemanna-Christoffela – najpowszechniejsza forma wyrażania krzywizny rozmaitości Riemannowskich. Łączy tensor z każdym punktem na rozmaitości Riemanna (pole tensorowe), mierzy stopień w jakim tensor metryczny nie jest lokalnie izometryczny do przestrzeni euklidesowej. Tensor krzywizny może być także zdefiniowany dla każdej rozmaitości pseudoriemannowskiej lub każdej rozmaitości wyposażonej w połączenie afiniczne.

Stanowi główne narzędzie matematyczne w ogólnej teorii względności, nowoczesnych teoriach grawitacji, krzywizny czasoprzestrzeni. Tensor krzywizny reprezentuje siły pływowe, których doświadcza sztywne ciało poruszające się wzdłuż linii geodezyjnej czasoprzestrzeni w sensie sprecyzowanym przez równanie Jacobiego.

Tensor krzywizny otrzymujemy w terminologii połączenia Leviego-Civity przez formułę:

gdzie [u, v] to nawias Liego pól wektorowych. Dla każdej pary wektorów stycznych u, v, istnieje liniowa transformacja R(u,v) przestrzeni stycznej rozmaitości. Jest liniowa w u i v, oraz definiuje tensor. Czasami tensor krzywizny jest zdefiniowany z przeciwnym znakiem.

Formułę powyższą można też wyrazić używając pojęcia drugiej pochodnej kowariantnej:

która jest także liniowa w u i v. Wówczas:

Tensor krzywizny połączenia Levi-Civity mierzy więc nieprzemienność drugiej pochodnej kowariantnej. Jego nieznikanie stanowi przeszkodę dla istnienia izometrii z przestrzenią euklidesową (nazywaną w tym przypadku płaską). Liniowa transformacja jest również nazywana transformacją (lub endomorfizmem) krzywizny.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN 1965.
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Volume 1, Interscience 1963.
  • E. Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications 1991.
  • R. M. Wald, General relativity, The University of Chicago Press 1984.