Interwał czasoprzestrzenny

Interwał czasoprzestrzenny – uogólnienie pojęcia odległości na czterowymiarową czasoprzestrzeń. W najprostszym przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego (w szczególnej teorii względności) wzór na interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami '1' i '2' ma następującą postać:

$\Delta s_{12}^{2}={c^{2}({t_{2}}-{t_{1}})}^{2}-{[({x_{2}}-{x_{1}})^{2}}+{({y_{2}}-{y_{1}})^{2}}+({z_{2}}-{z_{1}})^{2}]\;,$

(1)

gdzie:

$\Delta s_{12}^{2}\;$ – interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami mierzony w inercjalnym układzie odniesienia;

$t_{1}$ i $t_{2}$ – współrzędne czasowe zdarzenia '1' i '2', odpowiednio;

$x_{1},\,y_{1},\,z_{1}$ i $x_{2},\,y_{2},\,z_{2}$ – odpowiednie współrzędne przestrzenne zdarzeń;

c – prędkość światła w próżni.

Dla nieskończenie małych różnic w położeniu w czasoprzestrzeni interwał różniczkowy można zapisać jako

${\text{d}}s^{2}=c^{2}{\text{d}}t^{2}-({\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}+{\text{d}}z^{2})\;.$

(2)

Interwał między dwoma zdarzeniami czasoprzestrzennymi jest niezmiennikiem transformacji Lorentza.

Istnieje również konwencja, w której do obliczenia interwału czasoprzestrzennego przy odstępie czasowym stawia się znak -, zaś część przestrzenna ma znak +. Jest to zależne od sygnatury tensora metrycznego. Powyższe wzory zakładają sygnaturę "+ - - -".

Zapis tensorowy

Korzystając z tensora metrycznego czasoprzestrzeni Minkowskiego $\eta _{\mu \nu }$, interwał czasoprzestrzenny można zapisać następująco:

$\Delta s^{2}=\eta _{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }=\Delta x_{\mu }\Delta x^{\mu }\;.$

(3)

Dla różniczek interwał czasoprzestrzenny przyjmuje analogiczną postać:

$ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dx_{\mu }dx^{\mu }\;.$

(4)

Interwał czasoprzestrzenny w ogólnej teorii względności można otrzymać poprzez zastąpienie tensora z przestrzeni Minkowskiego $\eta _{\mu \nu }$ przez tensor metryczny OTW $g_{\mu \nu }\;$:

$\Delta s^{2}=g_{\mu \nu }\Delta x^{\mu }\Delta x^{\nu }=\Delta x_{\mu }\Delta x^{\mu }\;$

(5)

W ogólnej teorii względności interwał czasoprzestrzenny także jest niezmienniczy, czyli jego wartość jest taka sama we wszystkich układach odniesienia, również w poruszających się z przyspieszeniem względem danego układu odniesienia.

Typy interwałów czasoprzestrzennych

Interwały czasoprzestrzenne dzielimy na:

• czasowe $\Delta s_{12}^{2}>0\;$
• zerowe $\Delta s_{12}^{2}=0\;$
• przestrzenne $\Delta s_{12}^{2}<0\;$

Interwały czasowe i zerowe opisują zdarzenia, które mogły mieć na siebie wpływ (informacja o jednym mogła dotrzeć do drugiego), przy czym interwał zerowy dotyczy dwóch punktów połączonych linią geodezyjną (uogólnieniem prostej w czasoprzestrzeni), czyli drogą, po której poruszają się fotony. Natomiast zdarzenia, między którymi interwał jest typu przestrzennego, nie są ze sobą powiązane przyczynowo-skutkowo, chyba że dopuścimy możliwość poruszania się szybciej niż światło.

Bibliografia

• Andrzej Trautman: Względności teoria. W: Wielka encyklopedia powszechna PWN. Wyd. I. T. 12. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 585–586.
• L. D. Landau, J. M. Lifszyc, Teoria pola, PWN, Warszawa 2009, str. 20-26.