Grupa Galileusza

Transformacje Galileusza

$x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu $R^i_j$, prędkość $v^i$, translację w przestrzeni $x^i_0$ i czasie $t_0$.

Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach

$x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j ,$ $\sum_{i}^3 (x^i)^2 = \sum_{i}^3 ({x'}^i)^2$

Daje to warunek

$R^{T} R =I$

gdzie macierz transponowana $(R^T)^i_j=R^j_i$. Ponieważ macierz odwrotna spełnia $R^{-1}R=I$, to dla grupy obrotów $R^{-1}=R^{T}$. W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny $R^{-1}R=I$ i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierza ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek $det(R)=1$ definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciagły przez trzy parametry (wektor $\alpha^i=\omega^i \psi$, oś obrotu $\omega^i$ i kat obrotu ψ ).

$R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a}$

.

Trzy macierze $T^a$ nazywamy generatorami grupy obrotów. Gropa obrotów SO(3) jest ciagłą grupą Liego

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza

$x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

Parametryzowana jest przez 7 parametrów: vektor v translację w przestrzeni i w czasie $T_0$.

Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji

$x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +x^i_0$ $t \rightarrow t'=t+t_0$

Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.

Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciagłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji własciwej generowanej przez v.

Zobacz też: Grupa Poincaré, Grupa Lorentza