Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
W nierelatywistycznej mechanice kwantowej cząstkę swobodną opisuje czasowe równanie Schrödingera
−
ℏ
2
2
m
Δ
ψ
(
x
→
,
t
)
+
U
(
x
)
ψ
(
x
→
,
t
)
=
i
ℏ
∂
ψ
(
x
→
,
t
)
∂
t
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi ({\vec {x}},t)+U(x)\psi ({\vec {x}},t)=\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}}
z potencjałem
U
(
x
)
=
0
{\displaystyle U(x)=0}
kombinacja liniowa fal płaskich (paczką falową )
ψ
(
x
→
,
t
)
=
∑
i
c
k
exp
(
i
k
→
i
x
→
−
i
ω
i
t
)
,
{\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)=\sum _{i}c_{k}\exp(\mathrm {i} {\vec {k}}_{i}{\vec {x}}-\mathrm {i} \omega _{i}t),}
gdzie
p
→
=
ℏ
k
→
{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}
k
→
=
e
→
k
{\displaystyle {\vec {k}}={\vec {e}}k}
(
e
→
⋅
e
→
=
1
)
{\displaystyle ({\vec {e}}\cdot {\vec {e}}=1)}
k
=
2
π
λ
{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
e
→
{\displaystyle {\vec {e}}}
λ
.
{\displaystyle \lambda .}
Energia takiej fali jest równa:
E
i
=
p
2
2
m
=
ℏ
2
k
→
i
2
2
m
=
ℏ
ω
i
.
{\displaystyle E_{i}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}_{i}^{2}}{2m}}=\hbar \omega _{i}.}
Równanie to opisuje zależność dyspersyjną energii od wektora falowego, zależność ta określa prędkość grupową paczki falowej:
v
g
i
=
∂
ω
i
∂
k
i
.
{\displaystyle v_{\mathrm {gi} }={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial k_{i}}}.}
Dla cząstki nierelatywistycznej otrzymujemy:
v
→
g
=
ℏ
k
→
m
=
p
→
m
,
{\displaystyle {\vec {v}}_{\mathrm {g} }={\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}={\frac {\vec {p}}{m}},}
podobnie jak w mechanice klasycznej .
Tło
Koncepcje podstawowe
Doświadczenia
Sformułowania
Równania
Interpretacje
Zagadnienia zaawansowane
Znani uczeni
Δ
x
Δ
p
⩾
ℏ
2
{\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}
