Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami $V_{4}$ lub $K_{4}.$

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa Kleina, który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 roku.

Wszystkie elementy grupy są samoodwrotne. Wyjąwszy element neutralny dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje

Grupę Kleina definiuje działanie $\circ$ określone na zbiorze czterech (różnych) elementów $V_{4}=\{e,a,b,c\}$ dane jak w tabeli niżej, gdzie element $e$ jest elementem neutralnym.

Tabliczka działania grupy $V_{4}$

$\circ$	$e$	$a$	$b$	$c$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów $a,b$ oraz trzech relacji $a^{2}=e,$ $b^{2}=e$ i $(ab)^{2}=e;$ innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

$V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .$

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom $e,a,b,c$):

• iloczyn prosty $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ (z dodawaniem modulo 2):

  $(0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);$

• grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):

  identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o $180^{\circ };$

• podgrupa permutacji grupy symetrycznej $S_{4}{:}$

  $\operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).$

Można ją również skonstruować na zbiorze $\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$ z operacją mnożenia modulo 8. W tym wypadku $a$ odpowiada ${\overline {3}},$ $b$ opisuje ${\overline {5}}$ i wreszcie $c=ab$ to istotnie ${\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.$

Własności

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa (nie jest więc grupą cykliczną); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania.

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych; druga z nich jest grupą cykliczną.

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna).

Bibliografia

• Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Lipsk: B.G. Teubner, 1884. (niem.).
• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.