Ideał pierwszy (teoria pierścieni)

Ideał pierwszy – taki ideał właściwy pierścienia przemiennego z jedynką, dla którego z należenia do niego iloczynu dwóch danych elementów pierścienia wynika przynależność do niego choć jednego z czynników, tzn. ideał $I$ pierścienia $R$ nazywany jest pierwszym, gdy z należenia $ab\in I$ wynika, że $a\in I$ lub $b\in I\ (a,b\in R).$

Ideały pierwsze to w pewnym sensie te ideały, dla których zachodzi teza lematu Euklidesa o podzielności liczb całkowitych, tzn. odgrywają one rolę liczb pierwszych w teorii pierścieni. Pojęcie ideału pierwszego znajduje zastosowania w geometrii algebraicznej i teorii liczb.

Z danym pierścieniem przemiennym z jedynką można w naturalny sposób stowarzyszyć pewną przestrzeń topologiczną, której punktami są ideały pierwsze, a zbiorami domkniętymi są zbiory wszystkich ideałów pierwszych zawierających ustalony podzbiór pierścienia. Przestrzeń ta nazywana jest spektrum pierwszym pierścienia $R$ i oznaczana symbolem Spec $R$.

Właściwości

• Ideał $I$ pierścienia $R$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy $R/I$ nie zawiera dzielników zera, czyli jest dziedziną całkowitości.
• Każdy ideał maksymalny pierścienia przemiennego z jedynką jest jego ideałem pierwszym.
• Każdy niezerowy pierścień przemienny zawiera przynajmniej jeden ideał pierwszy.
• Przeciwobraz ideału pierwszego w homomorfizmie pierścieni jest ideałem pierwszym.
• Pierścień przemienny jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy ideał zerowy jest jedynym jego ideałem pierwszym (lub równoważnie: gdy ideał zerowy jest maksymalny).
• W (nietrywialnym) pierścieniu przemiennym z jedynką każdy ideał maksymalny jest pierwszy. Jeśli pierścień jest skończony, to pojęcia ideału pierwszego i maksymalnego się pokrywają.
• Każdy ideał pierwszy zawiera pewien minimalny ideał pierwszy. Dowód polega na zastosowaniu lematu Kuratowskiego-Zorna do rodziny wszystkich niezerowych ideałów zawartych w danym ideale pierwszym, uporządkowanej przez relację odwróconej inkluzji.

Przykłady

• W pierścieniu wielomianów dwu zmiennych o współczynnikach zespolonych $\mathbb {C} [X,Y]$ ideał generowany przez wielomian $Y^{2}-X^{3}-X-1$ jest pierwszy.
• W pierścieniu $\mathbb {Z} [X]$ wielomianów o współczynnikach całkowitych $\langle 2,X\rangle$ jest ideałem pierwszym. Składa się on ze wszystkich wielomianów, których wyraz wolny jest parzysty.
• W pierścieniu wielomianów nad ciałem ideałami pierwszymi są ideały główne generowane przez wielomiany nierozkładalne.

Zobacz też

• ideał maksymalny
• ideał prymarny

Bibliografia

• Douglas Northcott: Ideal theory. Wyd. 42. Cambridge: Cambridge University Press, 1953, s. 9, seria: Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics.
• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1969. Brak numerów stron w książce