Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Linia 15: | Linia 15: | ||
: <math>\int f(g(x)) g^\prime(x) dx,</math> |
: <math>\int f(g(x)) g^\prime(x) dx,</math> |
||
to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x)</math> |
to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x){:}</math> |
||
: <math>\int f(g(x)) dg(x).</math> |
: <math>\int f(g(x)) dg(x).</math> |
||
Linia 34: | Linia 34: | ||
* Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej: |
* Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej: |
||
: <math>\int \sin (2x + 3) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = - |
: <math>\int \sin (2x + 3) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C.</math> |
||
== Przydatne podstawienia == |
== Przydatne podstawienia == |
||
Linia 40: | Linia 40: | ||
Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x)</math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń: |
Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x)</math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń: |
||
* W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.</math> Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane. |
* W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}.</math> Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane. |
||
* Jeśli funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzysta]] ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|sinus]] |
* Jeśli funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|nieparzysta]] ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|sinus]] <math>(R(-\sin x,\cos x)= -R(\sin x,\cos x)),</math> stosuje się podstawienie <math>t = \cos x</math> |
||
* Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|cosinus]] |
* Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|cosinus]] <math>(R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)),</math> stosuje się podstawienie <math>t = \sin x</math> |
||
* Jeśli funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie |
* Jeśli funkcja jest [[Funkcje parzyste i nieparzyste|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie <math>(R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)),</math> stosuje się podstawienie <math>t = \operatorname{tg}x</math> |
||
Za pomocą [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: |
Za pomocą [[jedynka trygonometryczna|jedynki trygonometrycznej]] oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego: |
||
Linia 54: | Linia 54: | ||
: <math>\cos x = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> |
: <math>\cos x = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> |
||
W przypadku podstawienia <math>t = \operatorname{tg}x</math> mamy dla funkcji postaci <math>R(\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x \cos x)</math> |
W przypadku podstawienia <math>t = \operatorname{tg}x</math> mamy dla funkcji postaci <math>R(\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x \cos x){:}</math> |
||
: <math>x = \operatorname{arctg}t,</math> <math>dx=\frac{dt}{1+t^2}</math> |
: <math>x = \operatorname{arctg}t,</math> <math>dx=\frac{dt}{1+t^2}</math> |
||
Linia 111: | Linia 111: | ||
* gdy <math>p</math> jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień. |
* gdy <math>p</math> jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień. |
||
* gdy <math>\frac{m+1}{n}</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie <math>t=\sqrt[r]{a+bx^n}.</math> |
* gdy <math>\frac{m+1}{n}</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie <math>t=\sqrt[r]{a+bx^n}.</math> |
||
* gdy <math>\frac{m+1}{n}+p</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie <math>t=\sqrt[r] |
* gdy <math>\frac{m+1}{n}+p</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie <math>t=\sqrt[r]\frac{a+bx^n}{x^n}.</math> |
||
=== Podstawienia trygonometryczne === |
=== Podstawienia trygonometryczne === |
||
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień: |
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień: |
||
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \ |
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \sinh t</math> lub <math>x = a \operatorname{tg} t</math> |
||
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \ |
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \cosh t</math> lub <math>x = a \sec t</math> |
||
* <math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \ |
* <math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> – podstawiamy <math>x = a \operatorname{tgh} t</math> lub <math>x = a \sin t</math> |
||
=== Inne podstawienia === |
=== Inne podstawienia === |
||
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math> |
* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>e^x = t.</math> Stąd: <math>x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math> |
||
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \ |
* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \dots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math> gdzie p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, \dots, p<sub>n</sub> są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math> gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, \dots, p<sub>n</sub>. |
||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
Wersja z 17:40, 6 lut 2019
Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.
Opis metody
Jeśli:
- Funkcja jest różniczkowalna w
- jest przedziałem
- Funkcja ma funkcję pierwotną w przedziale tzn. dla należących do
to funkcja jest całkowalna w oraz:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
to można zmienić podstawę całkowania na
W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:
Założenia:
- Funkcja jest całkowalna w swej dziedzinie.
- Funkcja określona na przedziale jest różniczkowalna w sposób ciągły.
- dla każdego z przedziału
- Obraz funkcji zawiera się w dziedzinie funkcji
Wówczas:
Przykłady
- Obliczając całkę zastosować można podstawienie tzn. więc:
- Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:
Przydatne podstawienia
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
- W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus stosuje się podstawienie
- Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie stosuje się podstawienie
Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
zachodzi:
W przypadku podstawienia mamy dla funkcji postaci
Przykłady
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:
Podstawienia Eulera
Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci gdzie R jest funkcją wymierną.
I podstawienie Eulera
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: Wobec tego otrzymuje się:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
II podstawienie Eulera
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
Zachodzi:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się:
Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
Wtedy gdy to da się tak dobrać aby
III podstawienie Eulera
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu Przyjmuje się wtedy:
- Stąd:
Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:
Całkowanie różniczek dwumiennych
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci: gdzie i są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz i są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto gdzie są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę
można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
- gdy jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
- gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie
- gdy jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie
Podstawienia trygonometryczne
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
- – podstawiamy lub
- – podstawiamy lub
- – podstawiamy lub
Inne podstawienia
- Całki typu obliczamy przez podstawienie Stąd:
- Całki typu gdzie p1, p2, \dots, pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, \dots, pn.