Dwunastościan rombowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Dwunastościan rombowy
Dwunastościan rombowy
(Kliknij, aby zobaczyć animowany model)
Typ Wielościan Catalana
Ściana romb
Liczba ścian 12
Liczba krawędzi 24
Liczba wierzchołków 14 = 6 + 8
Wielościan dualny Sześcio-ośmiościan

Dwunastościan rombowybryła przestrzenna mająca 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami o następującej własności: stosunek długości przekątnych jest równy \sqrt 2. W każdym wierzchołku spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Kąt ostry każdej ściany jest równy \arccos {\frac {1}{3}} \approx 70^\circ . Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu.

Dwunastościan rombowy jest dualny z wielościanem archimedesowym zwanym sześcio-ośmiościanem i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian A i B istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę A na ścianę B.
Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.

Rozmiary bryły[edytuj | edytuj kod]

Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa a\;, to promień sfery wpisanej w dwunastościan rombowy jest równy

r_i = a \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.8164965809 \cdot a,

promień sfery przechodzącej przez środki krawędzi jest równy

r_m = a \frac23 \sqrt{2} \approx 0.94280904158 \cdot a, .

a promień sfery opisanej jest równy

r_o = a \frac2{\sqrt{3}} \approx 1.154700538 \cdot a .

Pole i objętość[edytuj | edytuj kod]

Pole powierzchni S\; i objętość V\; dwunastościanu rombowego o krawędzi a\; są równe:

S = 8\sqrt{2}a^2 \approx 11.3137085a^2
V = \frac{16}{9} \sqrt{3}a^3 \approx 3.07920144a^3

Występowanie w przyrodzie[edytuj | edytuj kod]

Kryształ granatu

Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowego[1]. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.

Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.

Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowego[edytuj | edytuj kod]

Wypełnienie przestrzeni przystającymi dwunastościanami rombowymi.

Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.

Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian - więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.

Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni:

  • Punkty (± 1, ± 1, ± 1) są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów: {(1, ± 1, ± 1)}, {(- 1, ± 1, ± 1)}, {(± 1, 1, ± 1)}, {(± 1, - 1, ± 1)}, {(± 1, ± 1, 1)}, {(± 1, ± 1, - 1)}.
  • Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych: (± 2, 0, 0), (0, ± 2, 0), (0, 0, ± 2). Są one obrazami początku układu współrzędnych O w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt (- 2, 0, 0) jest obrazem O w symetrii względem ściany (- 1, ± 1, ± 1), a punkt (2, 0, 0) - w symetrii względem ściany (1, ± 1, ± 1).
  • 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowego[2].

Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń - żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.

Wielościany pokrewne[edytuj | edytuj kod]

Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.

Wielościan Parkietaż euklidesowy Parkietaż hiperboliczny
[3, 3] [4, 3] [5, 3] [6, 3] [7, 3] [8, 3]
Hexahedron.svg
Sześcian
Rhombicdodecahedron.jpg
Dwunastościan rombowy
Rhombictriacontahedron.jpg
Trzydziestościan rombowy
Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png

Związki z bryłami czterowymiarowymi[edytuj | edytuj kod]

Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka[3]) (jest to komórka foremna[4]).

Jej wierzchołkami są:

  • 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu - 8-komórki: (± 1, ± 1, ± 1, ± 1). Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów: {(1, ± 1, ± 1, ± 1)}, {(- 1, ± 1, ± 1, ± 1)}, {(± 1, 1, ± 1, ± 1)}, {(± 1, - 1, ± 1, ± 1)}, {(± 1, ± 1, 1, ± 1)}, {(± 1, ± 1, - 1, ± 1)}, {(± 1, ± 1, ± 1, 1)}, {(± 1, ± 1, ± 1, - 1)}.
  • Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka O układu współrzędnych w ośmiu ścianach: (± 2, 0, 0, 0), (0, ± 2, 0, 0), (0, 0, ± 2, 0), (0, 0, 0, ± 2).

Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.

Przypisy

  1. W warszawskim Muzeum Ziemi jeden z wystawionych w ekspozycji kryształów ma formę dwunastościanu rombowego.
  2. Ilustracja ta jest analogiczna do konstrukcji 24-komórki podanej w cytowanej książce Marcela Bergera na s. 490-491.
  3. Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984, s. 490-494.
  4. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956, s. 135-149.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
  2. Magnus Wenninger: Dual Models. MR730208.
  3. The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron
  4. The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron )
  5. Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984.
  6. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Modele komputerowe[edytuj | edytuj kod]

Projekty papierowe[edytuj | edytuj kod]

Zastosowania praktyczne[edytuj | edytuj kod]