Działanie określone punktowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Działanie określone punktowo – w matematyce działanie określone na zbiorze funkcji o ustalonych dziedzinie i przeciwdziedzinie (tzw. przestrzeni funkcyjnej) poprzez zastosowanie wybranego działania przeciwdziedziny do obrazów funkcji we wszystkich argumentach dziedziny. Działania określone punktowo dziedziczą takie własności działania określonego w przeciwdziedzinie jak łączność, przemienność, rozdzielność; w ogólności jeśli przeciwdziedzina tworzy pewną strukturę algebraiczną, to we wspomnianym zbiorze funkcji można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle f, g\colon X \to \mathbb R będą funkcjami ustalonego zbioru w zbiór liczb rzeczywistych (w szczególności, jeśli \scriptstyle X \subseteq \mathbb N, funkcje mogą być ciągami, czy szeregami); przykładami działań określonych punktowo są m.in.:

Przykładem działania (na zbiorze \scriptstyle \mathrm L^1(\mathbb R) funkcji rzeczywistych całkowalnych w sensie Lebesgue'a), które nie jest określone punktowo jest splot \scriptstyle f * g.

Działanie określone po współrzędnych/składowych[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle K będzie ciałem, wówczas \scriptstyle K^n dla \scriptstyle n będącej liczbą naturalną jest przestrzenią liniową nazywaną przestrzenią współrzędnych; ponadto niżej \scriptstyle i \in \langle n \rangle = \{1, \dots, n\}. Dla danego wektora \scriptstyle \mathbf v = (v_1, \dots, v_n) \in K^n skalar \scriptstyle v_i nazywa się jego \scriptstyle i-tą współrzędną, z kolei wektor \scriptstyle \mathbf v_i = v_i \mathbf e_i, gdzie \scriptstyle \mathbf e_i jest elementem tzw. bazy standardowej, nazywa się \scriptstyle i-tą składową wektora \scriptstyle \mathbf v.

Działania określone po współrzędnych/składowych zadane są tak samo dla każdej współrzędnej/składowej. Przykładowo dodawanie wektorów \scriptstyle \mathbf u = \mathbf v + \mathbf w określone po współrzędnych dane jest wzorem

(u_1, \dots, u_n) = (v_1 + w_1, \dots, v_n + w_n),

z kolei po składowych określone jest za pomocą wzoru

\mathbf u_1 + \dots + \mathbf u_n = (\mathbf v_1 + \mathbf w_1) + \dots + (\mathbf v_n + \mathbf w_n),

czyli

u_i = v_i + w_i \quad\mbox{ oraz }\quad \mathbf u_i = \mathbf v_i + \mathbf w_i.

Przekształcenie \scriptstyle v\colon \langle n \rangle \to K dane wzorem \scriptstyle v(i) = v_i nazywa się funkcją współrzędnych, z kolei przekształcenie \scriptstyle \mathbf v\colon \langle n \rangle \to K^n dane wzorem \scriptstyle \mathbf v(i) = \mathbf v_i nazywa się funkcją rzutowań (ich obrazy nazywa się odpowiednio współrzędnymi i rzutami); istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem \scriptstyle \mathbf v(i) = v(i) \mathbf e_i. W ten sposób powyższe działania można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych/rzutowań:

u(i) = v(i) + w(i) \quad\mbox{ oraz }\quad \mathbf u(i) = \mathbf v(i) + \mathbf w(i);

oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych/składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych/rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo/naturalnie” bądź „w naturalny/standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą otrzymując działania określone po współrzędnych/składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej \scriptstyle V nad ciałem \scriptstyle K. Powyższe obserwacje obowiązują również dla \scriptstyle K = R będącego pierścieniem, gdy \scriptstyle R^n jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego \scriptstyle M nad pierścieniem \scriptstyle R. Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

Relacja określona punktowo[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: częściowy porządek.

Częstą praktyką w teorii porządku jest definiowanie określonego punktowo porządku częściowego na funkcjach. Dla (częściowo) uporządkowanych zbiorów \scriptstyle A, B zbiór funkcji \scriptstyle A \to B można uporządkować relacją \scriptstyle f \leqslant g określoną dla każdaego \scriptstyle x \in A wzorem \scriptstyle f(x) \leqslant g(x). Porządki częściowe określone punktowo dziedziczą niektóre z własności zbiorów uporządkowanych, na których zostały zdefiniowane; przykładowo jeżeli \scriptstyle A, Bkratami ciągłymi, to zbiór funkcji \scriptstyle A \to B również jest kratą tego typu. Porządek określony punktowo umożliwia zwięzłe wprowadzenie innych ważnych pojęć, np.

symbol \scriptstyle \mathrm{id}_A oznacza wyżej funkcję tożsamościową na \scriptstyle A.

Przykładem nieskończonej relacji określonej punktowo jest zbieżność punktowa funkcji: ciąg \scriptstyle (f_n), gdzie \scriptstyle f_n\colon X \to Y zbiega punktowo do funkcji \scriptstyle f, jeżeli dla każdego \scriptstyle x \in X zachodzi

\lim f_n(x) = f(x).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]