Działanie określone punktowo

Działanie określone punktowo – w matematyce działanie określone na zbiorze funkcji o ustalonych dziedzinie i przeciwdziedzinie (tzw. przestrzeni funkcyjnej) poprzez zastosowanie ustalonego działania przeciwdziedziny dla każdego argumentu dziedziny. Działania określone punktowo dziedziczą takie własności działania określonego w przeciwdziedzinie jak łączność, przemienność, rozdzielność; w ogólności jeśli przeciwdziedzina tworzy pewną strukturę algebraiczną, to we wspomnianym zbiorze funkcji można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Przykłady

Niech $\scriptstyle f, g\colon X \to \mathbb R$ będą funkcjami ustalonego zbioru w zbiór liczb rzeczywistych (w szczególności, jeśli $\scriptstyle X \subseteq \mathbb N,$ funkcje mogą być ciągami, czy szeregami); przykładami działań określonych punktowo są m.in.:

• dodawanie $\scriptstyle f + g$ dane wzorem

  $\bigl(f + g\bigr)(x) = f(x) + g(x)$,

• mnożenie $\scriptstyle f \cdot g$ dane wzorem

  $\bigl(f \cdot g\bigr)(x) = f(x) \cdot g(x)$,

• mnożenie przez skalar $\scriptstyle a \cdot f$ dane wzorem

  $\bigl(a \cdot f\bigr)(x) = a \cdot f(x)$.

Przykładem działania (na zbiorze $\scriptstyle \mathrm L^1(\mathbb R)$ funkcji rzeczywistych całkowalnych w sensie Lebesgue'a), które nie jest określone punktowo jest splot $\scriptstyle f * g$.

Działanie określone po współrzędnych/składowych

Niech $\scriptstyle K$ będzie ciałem, wówczas $\scriptstyle K^n$ dla $\scriptstyle n$ będącej liczbą naturalną jest przestrzenią liniową nazywaną przestrzenią współrzędnych; ponadto niżej $\scriptstyle i \in \langle n \rangle = \{1, \dots, n\}$. Dla danego wektora $\scriptstyle \mathbf v = (v_1, \dots, v_n) \in K^n$ skalar $\scriptstyle v_i$ nazywa się jego $\scriptstyle i$-tą współrzędną, z kolei wektor $\scriptstyle \mathbf v_i = v_i \mathbf e_i$, gdzie $\scriptstyle \mathbf e_i$ jest elementem tzw. bazy standardowej, nazywa się $\scriptstyle i$-tą składową wektora $\scriptstyle \mathbf v$.

Działania określone po współrzędnych/składowych zadane są tak samo dla każdej współrzędnej/składowej. Przykładowo dodawanie wektorów $\scriptstyle \mathbf u = \mathbf v + \mathbf w$ określone po współrzędnych dane jest wzorem

$(u_1, \dots, u_n) = (v_1 + w_1, \dots, v_n + w_n)$,

z kolei po składowych określone jest za pomocą wzoru

$\mathbf u_1 + \dots + \mathbf u_n = (\mathbf v_1 + \mathbf w_1) + \dots + (\mathbf v_n + \mathbf w_n)$,

czyli

$u_i = v_i + w_i \quad\mbox{ oraz }\quad \mathbf u_i = \mathbf v_i + \mathbf w_i$.

Przekształcenie $\scriptstyle v\colon \langle n \rangle \to K$ dane wzorem $\scriptstyle v(i) = v_i$ nazywa się funkcją współrzędnych, z kolei przekształcenie $\scriptstyle \mathbf v\colon \langle n \rangle \to K^n$ dane wzorem $\scriptstyle \mathbf v(i) = \mathbf v_i$ nazywa się funkcją rzutowań (ich obrazy nazywa się odpowiednio współrzędnymi i rzutami); istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem $\scriptstyle \mathbf v(i) = v(i) \mathbf e_i$. W ten sposób powyższe działania można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych/rzutowań:

$u(i) = v(i) + w(i) \quad\mbox{ oraz }\quad \mathbf u(i) = \mathbf v(i) + \mathbf w(i)$;

oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych/składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych/rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo/naturalnie” bądź „w naturalny/standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą otrzymując działania określone po współrzędnych/składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej $\scriptstyle V$ nad ciałem $\scriptstyle K$. Powyższe obserwacje obowiązują również dla $\scriptstyle K = R$ będącego pierścieniem, gdy $\scriptstyle R^n$ jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego $\scriptstyle M$ nad pierścieniem $\scriptstyle R$. Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

Zobacz też

• przestrzeń funkcyjna
• zbieżność punktowa (po współrzędnych/składowych)