Baza standardowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Każdy trójwymiarowy wektor a jest kombinacją liniową wektorów bazy standardowej i, j oraz k.

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – w matematyce zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

\mathbf{e}_x = (1, 0),\quad \mathbf{e}_y = (0, 1),

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

\mathbf{e}_x = (1, 0, 0),\quad \mathbf{e}_y = (0, 1, 0),\quad \mathbf{e}_z=(0, 0, 1).

Powyższe wektory \mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z wskazują odpowiednio kierunki osi x, y, z. Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

\{\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z\},
\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\},
\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\},
\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\}.

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor \mathbf{v} przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

v_x\,\mathbf{e}_x + v_y\,\mathbf{e}_y + v_z\,\mathbf{e}_z,

gdzie skalary v_x, v_y, v_zskładowymi wektora \mathbf{v}.

W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje n różnych wektorów bazy standardowej

 \{\mathbf{e}_i: i = 1, \dots, n\},

gdzie \mathbf{e}_i oznacza wektor z 1 na i-tej współrzędnej i 0 wszędzie indziej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

\mathbf{e}_1 = \left(\tfrac{\sqrt 3}{2}, \tfrac{1}{2}\right)
\mathbf{e}_2 = \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{\sqrt 3}{2}\right)

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów n zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

(e_i)_{i \in I} = ((\delta_{ij})_{j \in I})_{i \in I},

gdzie I jest dowolnym zbiorem, a \delta_{ij} to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli i \ne j i równy jedności, jeśli i = j. Rodzina ta jest bazą kanoniczną R-modułu (modułu wolnego) R^{(I)} wszystkich rodzin f = (f_i) z I w pierścień R, które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że 1 to 1_R, czyli jedność w R.

Inne[edytuj | edytuj kod]

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge'a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0521276357.
  • Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1558605940.