Baza standardowa

Każdy trójwymiarowy wektor a jest kombinacją liniową wektorów bazy standardowej i, j oraz k.

Baza standardowa (również baza naturalna lub baza kanoniczna) – w matematyce zbiór wektorów jednostkowych przestrzeni euklidesowej wskazujących każdą z osi układu współrzędnych kartezjańskich.

Przykładowo bazą standardową płaszczyzny euklidesowej są wektory

$\mathbf{e}_x = (1, 0),\quad \mathbf{e}_y = (0, 1),$

a bazą standardową trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej są wektory

$\mathbf{e}_x = (1, 0, 0),\quad \mathbf{e}_y = (0, 1, 0),\quad \mathbf{e}_z=(0, 0, 1).$

Powyższe wektory $\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z$ wskazują odpowiednio kierunki osi $x, y, z$. Istnieje kilka popularnych notacji tych wektorów, a wśród nich

$\{\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z\}$,

$\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$,

$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$,

$\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\}$.

Czasami wektory te zapisywane są z daszkiem, aby uwypuklić fakt jednostkowości tych wektorów.

Wspomniane wektory stanowią bazę w tym sensie, iż każdy inny wektor może być przedstawiony jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa. Na przykład każdy wektor $\mathbf{v}$ przestrzeni trójwymiarowej może być zapisany jako

$v_x\,\mathbf{e}_x + v_y\,\mathbf{e}_y + v_z\,\mathbf{e}_z,$

gdzie skalary $v_x, v_y, v_z$ są składowymi wektora $\mathbf{v}$.

W $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej istnieje $n$ różnych wektorów bazy standardowej

$\{\mathbf{e}_i: i = 1, \dots, n\},$

gdzie $\mathbf{e}_i$ oznacza wektor z $1$ na $i$-tej współrzędnej i $0$ wszędzie indziej.

Własności

Z definicji baza standardowa jest ciągiem ortogonalnych wektorów jednostkowych. Innymi słowy jest to baza uporządkowana i ortonormalna.

Jednakże uporządkowana baza ortonormalna nie musi być bazą standardową, np. wektory

$\mathbf{e}_1 = \left(\tfrac{\sqrt 3}{2}, \tfrac{1}{2}\right)$

$\mathbf{e}_2 = \left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{\sqrt 3}{2}\right)$

są jednostkowe i ortogonalne, ale baza ortonormalna, którą tworzą, nie spełnia definicji bazy standardowej.

Uogólnienia

Istnieje również baza standardowa pierścieni wielomianów $n$ zmiennych nad ciałem, mianowicie baza jednomianów.

Wszystkie poprzednie bazy były przypadkami szczególnymi rodziny

$(e_i)_{i \in I} = ((\delta_{ij})_{j \in I})_{i \in I}$,

gdzie $I$ jest dowolnym zbiorem, a $\delta_{ij}$ to symbol Kroneckera, równy zeru, jeżeli $i \ne j$ i równy jedności, jeśli $i = j$. Rodzina ta jest bazą kanoniczną $R$-modułu (modułu wolnego) $R^{(I)}$ wszystkich rodzin $f = (f_i)$ z $I$ w pierścień $R$, które są zerami z wyjątkiem skończonej liczby współczynników, jeżeli przyjmie się, że $1$ to $1_R$, czyli jedność w $R$.

Inne

Istnienie innych baz standardowych stało się obiektem zainteresowań geometrii algebraicznej, poczynając od pracy Hodge'a z 1943 dotyczącej grassmannianów. Dziś jest to część teorii reprezentacji nazywanej teorią jednomianów standardowych. Ideę bazy standardowej w uniwersalnej algebrze obwiedniej (ang. universal enveloping algebra) algebry Liego uzyskuje się na mocy twierdzenia Poincarégo-Birkhoffa-Witta.

Bazą standardową nazywa się też czasami bazę Gröbnera.

Zobacz też

• uogólniona przestrzeń współrzędnych

Bibliografia

• Patrick J. Ryan: Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press, 1986, s. 198. ISBN 0521276357.
• Philip J. Schneider, David H. Eberly: Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers, 2003, s. 112. ISBN 1558605940.