Przestrzeń współrzędnych

Przestrzeń współrzędnych – w algebrze liniowej prototypowy model przestrzeni liniowej skończonego wymiaru nad ustalonym ciałem; definiuje się ją jako przestrzeń produktową danego ciała nad skończonym zbiorem indeksów, w szczególności każde ciało można postrzegać jako jednowymiarową przestrzeń współrzędnych z działaniem mnożenia z ciała jako mnożenia przez skalar.

Definicja

Niech $\scriptstyle K$ będzie ustalonym ciałem (takim jak liczby rzeczywiste $\scriptstyle \mathbb R,$, liczby zespolone $\scriptstyle \mathbb C$). Zbiór ciągów $\scriptstyle n$ elementów z ciała $\scriptstyle K$ tworzy nad nim $\scriptstyle n$-wymiarową przestrzeń liniową $\scriptstyle K^n$ nazywaną przestrzenią współrzędnych z działaniami opisanymi poniżej.

Każdy wektor $\scriptstyle \mathbf x$ ma postać

$\mathbf x = (x_1, x_2, \dots, x_n),$

przy czym elementy $\scriptstyle x_i$ ciągu nazywa się jego składowymi. Działania przestrzeni liniowej na $\scriptstyle K^n$ zdefiniowane są „po składowych”, czyli wzorami

$\mathbf{x + y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n),$

$c \mathbf x = (cx_1, cx_2, \dots, cx_n).$

Wektor zerowy ma postać

$\mathbf 0 = (0, 0, \dots, 0),$

a wektor przeciwny do $\scriptstyle \mathbf x$ dany jest wzorem

$\mathbf{-x} = (-x_1, -x_2, \dots, -x_n).$

Wybór bazy

W przestrzeni współrzędnych wyróżniona jest rodzina ciągów postaci

$\mathbf e_i = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0),$

gdzie $\scriptstyle 1$ oznaczająca element neutralny mnożenia w $\scriptstyle K$ jest $\scriptstyle i$-tym elementem ciągu, a pozostałe są równe $\scriptstyle 0,$ czyli elementowi neutralnemu dodawania w $\scriptstyle K.$ Ponieważ każdy wektor $\scriptstyle \mathbf x$ przestrzeni można jednoznacznie wyrazić za pomocą powyższej rodziny,

$\mathbf x = \sum_{i = 1}^n x_i \mathbf e_i,$

w jednoznaczny sposób, to wspomniane wektory tworzą bazę $\scriptstyle K^n$ – nazywa się ją bazą standardową lub bazę kanoniczną – współrzędne każdego z wektorów w tej bazie pokrywają się z jego składowymi. Nazwa tej przestrzeni wynika z twierdzenia mówiącego, iż każda $\scriptstyle n$-wymiarowa przestrzeń liniowa $\scriptstyle V$ nad ciałem $\scriptstyle K$ ma strukturę identyczną ze strukturą przestrzeni $\scriptstyle K^n.$ Jednakże metoda utożsamienia tych przestrzeni nie jest uniwersalna – wymaga określenia bazy w przestrzeni $\scriptstyle V,$ a więc wskazania izomorfizmu (liniowego) $\scriptstyle V \to K^n.$ W ten sposób przekształcenie to wprowadza niejako układ współrzędnych tej przestrzeni; dokładniej, jeśli $\scriptstyle \mathrm A\colon K^n \to V$ jest izomorfizmem (różnowartościowym przekształceniem liniowym) danym wzorem

$\mathrm A(\mathbf e_i) = \mathbf a_i$

dla $\scriptstyle i = 1, \dots, n,$ to wektory $\scriptstyle \mathbf a_i$ tworzą bazę przestrzeni $\scriptstyle V.$ Podobnie dla każdej bazy uporządkowanej złożonej z wektorów $\scriptstyle \mathbf a_i$ można wskazać izomorfizm $\scriptstyle \mathrm A\colon K^n \to V$ dany wzorem

$\mathrm A(\mathbf x) = \sum_{i = 1}^n x_i \mathbf a_i.$

W ten sposób dowolny wektor $\scriptstyle \mathbf v$ przestrzeni $\scriptstyle V$ można utożsamić z wektorem $\scriptstyle \mathbf v_B$ jego współrzędnych w bazie uporządkowanej $\scriptstyle B = (\mathbf b_i)$ należący do $\scriptstyle K^n,$ mianowicie

$\mathbf v = v_1 \mathbf b_1 + v_2 \mathbf b_2 + \dots + v_n \mathbf b_n$

odpowiada wtedy wektor złożony z jego współrzędnych w bazie $\scriptstyle B,$

$\mathbf v_B = (v_1, v_2, \dots, v_n).$

To jest właśnie powodem, dla którego $\scriptstyle K^n$ nazywa się „przestrzenią współrzędnych” $\scriptstyle n$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $\scriptstyle K.$ Mogłoby się wydawać, że abstrakcyjne przestrzenie liniowe (skończonego wymiaru) w świetle dostępności przestrzeni współrzędnych są niepotrzebne, jednak niekiedy dogodniejsze jest operowanie w przestrzeni bez wybranej bazy („układu współrzędnych”); istnieją również przestrzenie liniowe, w których wybór bazy nie jest oczywisty bądź zaciemnia sytuację – nie mniej wszelkie obliczenia i konkretne wymagają wybrania pewnej bazy przestrzeni liniowej (zob. sekcję Uogólnienia).

Macierze

Składowe wektora $\scriptstyle \mathbf x$ przestrzeni współrzędnych $\scriptstyle K^n,$ tzn. elementy ciągu $\scriptstyle (x_1, \dots, x_n)$ można zapisać w macierzy jednokolumnowej bądź jednowierszowej, tzn. typu $\scriptstyle n \times 1$ lub $\scriptstyle 1 \times n,$ mianowicie

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \quad \mbox{ lub } \quad \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \dots & x_n \end{bmatrix}.$

Działania na tych macierzach definiuje się identycznie jak opisano to w sekcji Definicja, z tego względu zwykle utożsamia się powyższe przestrzenie z przestrzenią współrzędnych bądź definiuje przestrzeń współrzędnych jako przestrzeń macierzy jednego z powyższych typów macierzy nad ciałem $\scriptstyle K.$

Zwykle przedkłada się macierze jednokolumnowe nad macierze jednowierszowe nazywane odpowiednio wektorami kolumnowymi oraz wektorami wierszowymi, co ma swoje źródło w zastosowaniu macierzy typu $\scriptstyle m \times n$ do opisu we współrzędnych (ustalonych bazach) przekształceń liniowych $\scriptstyle K^n \to K^m.$ Wówczas działaniu przekształcenia liniowego na wektorze i składaniu przekształceń odpowiada mnożenie macierzy w naturalnym porządku, działaniom na przekształceniach $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x), \mathrm A \circ \mathrm B$ odpowiadają działania na macierzach $\scriptstyle \mathbf{AX}, \mathbf{AB},$ gdzie $\scriptstyle \mathbf A, \mathbf B$ są macierzami przekształceń liniowych $\scriptstyle \mathrm A, \mathrm B,$ a kolejne elementy macierzy jednokolumnowej $\scriptstyle \mathbf X$ pokrywają się z odpowiednimi elementami wektora $\scriptstyle \mathbf x.$

Na mocy własności przekształcenia liniowego zachodzi

$\mathrm A(\mathbf x) = \mathrm A\left(\sum_{i = 1}^n x_i \mathbf e_i\right) = \sum_{i = 1}^n x_i \mathrm A(\mathbf e_i) = \sum_{i = 1}^n x_i \mathbf a_i,$

gdzie $\scriptstyle \mathbf e_i$ oznaczają wektory bazy standardowej; wynika stąd, że w celu obliczenia $\scriptstyle i$-tej składowej obrazu $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x)$ wystarczy znać $\scriptstyle \mathbf a_i,$ czyli obraz $\scriptstyle i$-tego wektora bazowego $\scriptstyle \mathbf e_i$ w przekształceniu $\scriptstyle \mathrm A.$ W języku macierzy $\scriptstyle \mathbf{AE}_i = \mathbf A_i$ oznacza $i$-tą kolumnę macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ odpowiadającej $\scriptstyle \mathrm A.$ Działanie $\scriptstyle \mathbf{AX}$ można wtedy traktować jako

$\mathbf{AX} = \mathbf A\left(\sum_{i = 1}^n x_i \mathbf E_i\right) = \sum_{i = 1}^n x_i \mathbf{AE}_i = \sum_{i = 1}^n x_i \mathbf A_i,$

tzn. kombinację liniową składowych wektora kolumnowego $\scriptstyle \mathbf X$ i wektorów kolumnowych $\scriptstyle \mathbf A_i$ (por. mnożenie macierzy metodą współczynniki-wektory), co można zapisać w postaci macierzowej jako

$\mathbf{AX} = \begin{bmatrix} x_1 \mathbf A_1 & \dots & x_n \mathbf A_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf A_1 & \dots & \mathbf A_n \end{bmatrix} \mathbf X.$

Umożliwia to postrzeganie macierzy $\scriptstyle \mathbf A$ jako ciągu wektorów kolumnowych – odpowiada temu traktowanie przekształcenia liniowego $\scriptstyle K^n \to K^m$ jako przekształcenia wieloliniowego o $\scriptstyle n$ argumentach w przestrzeń $\scriptstyle K^m$ danego wzorem $\scriptstyle \mathsf A(x_1, \dots, x_n) \mapsto \mathrm A\displaystyle(\scriptstyle[x_1, \dots, x_n]\displaystyle)\scriptstyle = [x_1 \mathbf a_1, \dots, x_n \mathbf a_n]$ – obserwacja ta ułatwia niekiedy rozważania teoretyczne.

Uogólnienia

Ponieważ elementami przestrzeni współrzędnych są ciągi, tzn. funkcje określone na zbiorze skończonym $\scriptstyle \langle n \rangle = \{1, 2, \dots, n\}$ o wartościach w $\scriptstyle K.$ W ten sposób wektory są funkcjami, które odwzorowują każdy z elementów $\scriptstyle i$ zbioru $\scriptstyle \langle n \rangle$ na $\scriptstyle i$-tą składową tego wektora. Dlatego przestrzeń współrzędnych $\scriptstyle K^n$ to w istocie przestrzeń $\scriptstyle K^{\langle n \rangle}$ funkcji $\scriptstyle \langle n \rangle \to K.$ Pomysł ten uogólnia się na przestrzenie funkcji indeksowanych za pomocą dowolnego zbioru $\scriptstyle I$ w postaci tzw. przestrzeni funkcyjnych, w szczególności uogólnionej, czy nieskończonej przestrzeni współrzędnych.

Dualność

Wybór wektorów kolumnowych typu $\scriptstyle n \times 1$ nie oznacza, że wektory wierszowe $\scriptstyle 1 \times n$ nie są wtedy używane: z każdą przestrzenią współrzędnych $\scriptstyle K^n$ można związać przestrzeń $\scriptstyle \underline{K^n}$ (oznaczaną zwykle gwiazdką w indeksie górnym za symbolem przestrzeni) form liniowych $\scriptstyle K^n \to K$ nazywanej przestrzenią dualną do $\scriptstyle K^n.$ Każdą formę liniową na $\scriptstyle K^n$ można przedstawić w bazach standardowych (obu przestrzeni) w postaci

$u(\mathbf x) = \sum_{i = 1}^n u_i x_i.$

Działanie formy $\scriptstyle u$ na wektorze $\scriptstyle \mathbf x$ jest liniowe ze względu tak na wektory, jak i na kowektory z osobna i daje wynik skalarny – można więc na nie patrzeć jako na formę dwuliniową $\scriptstyle \underline{K^n} \times K^n \to K$ daną wzorem

$\langle u, \mathbf x \rangle = u(\mathbf x).$

Ta niezdegenerowana forma dwuliniowa ustala w ten sposób parowanie doskonałe między kowektorami a wektorami przestrzeni $\scriptstyle K^n$ definiując izomorfizm $\scriptstyle \underline{K^n} \to K^n.$ Dzięki temu utożsamieniu forma $\scriptstyle u$ określona na przestrzeni $\scriptstyle K^n$ (będąca równocześnie wektorem przestrzeni do niej dualnej $\scriptstyle \underline{K^n}$) znajduje przedstawienie w postaci wektora współrzędnych $\scriptstyle \mathbf u;$ z tego powodu formy liniowe na $\scriptstyle K^n$ nazywa się też kowektorami tej przestrzeni.

Wspomniany izomorfizm (albo ogólniej: parowanie) umożliwia zdefiniowanie transpozycji lub sprzężenia przekształcenia $\scriptstyle \mathrm A\colon K^n \to K^m,$ czyli przekształcenia liniowego $\scriptstyle \underline \mathrm A\colon \underline{K^m} \to \underline{K^n}$ (zwykle oznacza się je gwiazdką lub dużą literą „T” w indeksie górnym po prawej stronie symbolu przekształcenia), które odwzorowuje kowektory przestrzeni $\scriptstyle K^m$ w kowektory na $\scriptstyle K^n$ według wzoru $\scriptstyle \underline \mathrm A(u) = u \circ \mathrm A;$ jego obraz będący formą na $\scriptstyle K^n$ nazywa się cofnięciem $\scriptstyle u$ przez/wzdłuż $\scriptstyle \mathrm A.$ Ze względu na obecność w obu przestrzeniach form dwuliniowych utożsamiających wektory z kowektorami możliwe jest scharakteryzowanie tego odwzorowania za pomocą tożsamości $\scriptstyle \langle \underline \mathrm A(u), \mathbf x \rangle = \langle u, \mathrm A(\mathbf x) \rangle,$ która byłaby spełniona dla wszystkich $\scriptstyle u, \mathbf x.$

Z definicji mnożenia macierzy wynika, że jeśli wektory kolumnowe odpowiadają wektorom danej przestrzeni współrzędnych, to wektory wierszowe reprezentują jej kowektory, gdyż wspomniane parowanie w przypadku macierzy przyjmuje postać

$\underline {\mathbf U} \mathbf X = \left[\begin{smallmatrix} u_1 & \dots & u_n \end{smallmatrix}\right]\left[\begin{smallmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{smallmatrix}\right] = \left[\sum_{i = 1}^n u_i x_i\right] = \bigl[u(\mathbf x)\bigr],$

gdzie podkreślenie oznacza izomorfizm $\scriptstyle \mathrm{Mat}_{n \times 1} \to \mathrm{Mat}_{1 \times n}$ odpowiadający utożsamieniu wektorów z kowektorami. Transpozycji przekształcenia liniowego odpowiada transpozycja (nazywana też przestawieniem i oznaczana standardowo dużą literą „T” w indeksie górnym za symbolem) macierzy $\scriptstyle \mathbf M$ typu $\scriptstyle m \times n$ dająca w wyniku macierz $\scriptstyle \underline \mathbf M$ typu $\scriptstyle n \times m,$ która polega na zamianie miejscami jej wierszy i kolumn (z zachowaniem ich porządku).

Choć oczywiste jest, iż $\scriptstyle \underline{\underline {\mathbf A}} = \mathbf A,$ to wcale nie jest jasne, iż $\scriptstyle \underline {\underline \mathrm A}\colon \underline{\underline{K^n}} \to \underline{\underline{K^m}},$ a w szczególności, iż $\scriptstyle \underline{\underline{K^n}}$ ma tę samą strukturę, co $\scriptstyle K^n.$ Jak można się domyślać, skoro zachodzi równość dla macierzy, to istnieje pewne utożsamienie (izomorfizm) między tymi przestrzeniami – wynika to wprost z faktu, iż dowolne dwie przestrzenie liniowe równego wymiaru skończonego są izomorficzne. W tym wypadku istnieje jednak naturalne przekształcenie danej z przestrzeni z jej drugą dualną (tj. przestrzeni form liniowych określonych na przestrzeni form liniowych danej przestrzeni), które odwzorowywałoby wektor w „ko-kowektor”, czyli formę $\scriptstyle \underline{K^n} \to K.$ Obliczenie wartości (tzw. ewaluacja) formy dla ustalonego wektora, $\scriptstyle \mathrm{ev}_\mathbf x\colon u \mapsto u(\mathbf x),$ jest przekształceniem liniowym ze względu na przyłożone formy, które jest elementem $\scriptstyle \underline{\underline{K^n}}.$ Przekształcenie $\scriptstyle \mathrm{ev}\colon \mathbf x \mapsto \mathrm{ev}_\mathbf x,$ liniowe ze względu na przyłożone wektory, odwzorowuje więc $\scriptstyle K^n$ w przestrzeń $\scriptstyle \underline{\underline{K^n}}.$ W ten sposób działanie $\scriptstyle \mathrm{ev}$ obliczania wartości formy $\scriptstyle u$ przy jej działaniu na wektor $\scriptstyle \mathbf x$ dane wzorem $\scriptstyle \mathrm{ev}_\mathbf x(u) = u(\mathbf x)$ jest naturalnym parowaniem danej przestrzeni i przestrzeni do niej dualnej – przestrzenie, dla których istnieje tego rodzaju utożsamienie (zwykle jest ono tylko zanurzeniem), nazywa się refleksywnymi; są nimi w szczególności przestrzenie współrzędnych, o czym mówi ta uwaga (zob. para dualna).

Analizowanym w poprzedniej sekcji działaniom na przekształceniach, $\scriptstyle \mathrm A(\mathbf x), \mathrm A \circ \mathrm B,$ odpowiada mnożenie następujących macierzy: $\scriptstyle \underline \mathbf{XA}$ oraz $\scriptstyle \underline \mathbf{BA},$ czyli w odwrotnym porządku – przedkładanie wektorów kolumnowych nad wierszowe przy opisie przekształceń liniowych jest więc czysto arbitralne i wynika z naturalnej w zachodniej kulturze chęci zapisu działań od lewej do prawej.

Iloczyn skalarny

W przestrzeni współrzędnych nad ciałem liczb rzeczywistych $\scriptstyle \mathbb R$ definiuje się działanie odwzorowujące parę wektorów $\scriptstyle \mathbf x, \mathbf y$ w ciało jej skalarów nazywane iloczynem skalarnym tych wektorów:

$\mathbf x \cdot \mathbf y := \sum_{i = 1}^n x_i y_i.$

Odwzorowanie to wprowadza na przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^n$ strukturę unitarną, w tym pojęcia „długości” i „odległości”; każda przestrzeń liniowa ma naturalną strukturę afiniczną nad samą sobą, dzięki czemu $\scriptstyle \mathbb R^n$ ma strukturę euklidesową.

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że jest przemienny i liniowy ze względu oba argumenty: w oparciu o poprzednią sekcję rozważania te sugerują istnienie niezdegenerowanej formy dwuliniowej $\scriptstyle \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to \mathbb R$ będącej parowaniem przestrzeni $\scriptstyle \mathbb R^n$ ze sobą dzięki istnieniu formy $\scriptstyle \underline{\mathbb R^n} \times \mathbb R^n \to \mathbb R$ dającej izomorfizm $\scriptstyle \underline{\mathbb R^n} \to \mathbb R^n.$ Dlatego choć iloczyn skalarny jest działaniem na wektorach, to operacje z jego wykorzystaniem muszą respektować utożsamienie wektorów z kowektorami (tj. działanie kowektorów na wektorach) – przekształceniami zachowującymi własności iloczynu skalarnego są przekształcenia ortogonalne (ich macierzami są macierze ortogonalne).

Inna natura obiektów manifestuje się w odmiennym ich zachowaniu przy zmianie bazy za pomocą przekształcenia nieortogonalnego (tj. przy nieortogonalnych automorfizmach przestrzeni liniowej, np. na prostoliniową, czy krzywoliniową): współrzędne wektorów przekształcają się w pewnym sensie „na przekór” (kontrawariantnie) przekształceniu przejścia między bazami, z kolei współrzędne kowektorów odwzorowywane są niejako „zgodnie” (kowariantnie) względem tego przekształcenia. Nie mniej obecność przestrzeni dualnej długo pozostawała niezauważona, a konieczność śledzenia wektorów i kowektorów stała się jednym z powodów, dla których preferuje się operowanie na przestrzeniach bez wybranych baz.

Podobnie można określić przestrzeń współrzędnych zespolonych w przypadku ciała liczb zespolonych i rozważać iloczyn skalarny dany jednak nieco innym wzorem, wówczas mówi się o przestrzeniach unitarnych, przekształceniach unitarnych i macierzach unitarnych.