Macierz klatkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierzą klatkową w algebrze liniowej nazywamy rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy macierze:  
A = [a_{ij}]_{i = 1, \dots ,n \atop j = 1, \dots ,n }, 
B = [b_{ij}]_{i = 1, \dots ,m \atop j = 1, \dots ,m }, 
C = [c_{ij}]_{i = 1, \dots ,n \atop j = 1, \dots ,m }, 
D = [d_{ij}]_{i = 1, \dots ,m \atop j = 1, \dots ,n }.

Wówczas macierz  E = [e_{ij}]_{i = 1, \dots ,n+m \atop j = 1, \dots ,n+m } zdefiniowaną następująco:

 e_{ij} :=
\begin{cases} \begin{matrix}
 a_{ij}, & i \leqslant n, & j \leqslant n, \\
 b_{ij}, & i   >  n, & j   >  n, \\
 c_{ij}, & i \leqslant n, & j   >  n, \\
 d_{ij}, & i   >  n, & j \leqslant n
\end{matrix} \end{cases}

nazywamy macierzą klatkową. Macierz  E \, można zapisać w postaci

 E := \begin{bmatrix} A & C \\ D & B \end{bmatrix}

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Macierz

P = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 2 & 2\\
3 & 3 & 4 & 4\\
3 & 3 & 4 & 4\end{bmatrix}

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

P_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1 \end{bmatrix},   P_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\end{bmatrix},  P_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3 \end{bmatrix},   P_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 4\\
4 & 4\end{bmatrix}.

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

P_{\mathrm{podzielone}} = \begin{bmatrix}
P_{11} & P_{12}\\
P_{21} & P_{22}\end{bmatrix}.

Macierz klatkowo-diagonalna[edytuj | edytuj kod]

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna  A \, ma postać

 
A = \begin{bmatrix} 
A_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_{2} & \cdots &  0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_{n} 
\end{bmatrix}

gdzie  A_{k} \, jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

 
\begin{bmatrix} 
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots &  A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} 
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix} 
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1k} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots &  B_{2k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mk} 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1k} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots &  C_{2k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nk}
\end{bmatrix}

gdzie C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots +A_{im}B_{mj}. Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowych[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbb K będzie ciałem.

  • Jeżeli macierz A \in M_{m \times n}(\mathbb K), C \in M_{m \times m}(\mathbb K), D \in M_{n \times n}(\mathbb K) oraz \Theta jest macierzą zerową typu n \times m, to:
    \det \begin{bmatrix} A & C \\ D & \Theta \end{bmatrix} = (-1)^{mn} \det(C) \det(D)

Przypisy

  1. Dowód indukcyjny (względem m) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
    • Niech n \in \mathbb N, m = 1. Wtedy
      \det \begin{bmatrix} A & \Theta \\ D & B \end{bmatrix} = 
\det \begin{bmatrix}
 a_{11} & \dots  & a_{1n} &    0   \\
 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
 a_{n1} & \dots  & a_{nn} &    0   \\
 d_{11} & \dots  & d_{1n} & b_{11} 
\end{bmatrix}
= b_{11} \det(A) = \det(B) \det(A)
.
    • Załóżmy, że teza zachodzi dla n \in \mathbb N, m = k-1
      Niech A \in M_{n \times n}(\mathbb K), B \in M_{k \times k}(\mathbb K), D \in M_{k \times n} (\mathbb K)
      Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
       \det \begin{bmatrix} A & \Theta \\ D & B \end{bmatrix} = \sum\limits_{i=1}^k~(-1)^{(n+m) + (n+i)} b_{ik} \det \begin{bmatrix} A & \Theta \\ D_i & B_{ik} \end{bmatrix}, gdzie D_i, to macierz powstała z macierzy D poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast B_{ik} z macierzy  B poprzez wykreślenie i-tego wiersza oraz k-tej kolumny.
      Ponieważ B_{ik} \in M_{(k-1) \times (k-1)}(\mathbb K), D_i \in M_{(k-1) \times n}(\mathbb K) , więc z założenia indukcyjnego:
       \det \begin{bmatrix} A & \Theta \\ D_i & B_{ik} \end{bmatrix} = \det(A) \det (B_{ik})
      Po podstawieniu:
       \det \begin{bmatrix} A & \Theta \\ D & B \end{bmatrix} = (-1)^{2n} \det(A) \sum\limits_{i=1}^k~(-1)^{m+i} b_{ik} \det (B_{ik}) = \det(A) \det(B)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]