Wielomian minimalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomianem minimalnym macierzy kwadratowej A nazywamy wielomian anulujący \psi(\lambda) tej macierzy, tzn. \psi(A)=0 stopnia najniższego względem \lambda o współczynniku jeden przy najwyższej potędze \lambda.

Równoważnie, dla przekształcenia liniowego f zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian \psi(\lambda), że \psi(f) (interpretując f^n jako przekształcenie f złożone ze sobą n razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian \psi jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze \lambda.

Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej A.

Wielomian minimalny \psi(\lambda) macierzy A jest związany z wielomianem charakterystycznym \varphi(\lambda) następującą zależnością:

 \psi (\lambda)={{\varphi (\lambda)}\over {D_{n-1}(\lambda)}} ,

przy czym D_{n-1}(\lambda) jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej [\lambda E - A]^{D}, gdzie E jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz A.

Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.

Algorytm wyznaczania[edytuj | edytuj kod]

Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego \psi(\lambda) macierzy A:

  1. Wyznaczamy wielomian charakterystyczny \varphi (\lambda) macierzy A.
  2. Wyznaczamy macierz dołączoną [\lambda E - A]^{D} macierzy A.
  3. Znajdujemy D_{n-1}(\lambda) będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej [\lambda E - A]^{D}.
  4. Korzystając z wzoru  \psi (\lambda)={{\varphi (\lambda)}\over {D_{n-1}(\lambda)}} wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy A.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:


A=\left(\begin{matrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 1\\
0& 0& 1
\end{matrix}\right).

Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy A:


\varphi (\lambda)=\left|\begin{matrix}
\lambda -1& 0& 0\\
0& \lambda -1& -1\\
0& 0& \lambda -1
\end{matrix}\right|=(\lambda -1)^3.

Następnie obliczamy macierz dołączoną [\lambda E - A]^{D} macierzy A, więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A:


D_{11}=\left|\begin{matrix}
\lambda -1& -1\\
0&\lambda -1
\end{matrix}\right|=(\lambda -1)^2,

D_{12}=- \left|\begin{matrix}
0 & -1\\
0& \lambda -1
\end{matrix}\right|=0,

D_{13}=\left|\begin{matrix}
0& \lambda -1\\
0& 0
\end{matrix}\right|=0,

D_{21}=- \left|\begin{matrix}
0& 0\\
0&\lambda -1
\end{matrix}\right|=0,

D_{22}=\left|\begin{matrix}
\lambda -1& 0\\
0&\lambda -1
\end{matrix}\right|=(\lambda -1)^2,

D_{23}=- \left|\begin{matrix}
\lambda -1& 0\\
0& 0
\end{matrix}\right|=0,

D_{31}= \left|\begin{matrix}
0& 0\\
\lambda -1& -1
\end{matrix}\right|=0,

D_{32}= - \left|\begin{matrix}
\lambda -1& 0\\
0& -1
\end{matrix}\right|=\lambda -1,

D_{33}= \left|\begin{matrix}
\lambda -1& 0\\
0& \lambda -1
\end{matrix}\right|=(\lambda -1)^2.

Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona [\lambda E-A]^{D} podanej macierzy A ma postać:


[\lambda E-A]^{D}=\left(\begin{matrix}
(\lambda -1)^2& 0& 0\\
0&(\lambda -1)^2 & \lambda -1\\
0& 0& (\lambda -1)^2
\end{matrix}\right).

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez \lambda -1 zatem ze wzoru: 
 \psi (\lambda)={{\varphi (\lambda)}\over {D_{n-1}(\lambda)}}
otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy A ma postać:  \psi (\lambda)=(\lambda -1)^2.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]