Macierz nilpotentna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

Przykład

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$,

bowiem kolejne potęgi tej macierzy $N^2, N^3, N^4\,$ są równe:

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Własności

• Jeśli $A$ jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna $k$ taka, że $A^k = \Theta$, nie przekracza stopnia $A$.
• Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej $A$ jest postaci $F_A(\lambda)=\lambda^n$, stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
• Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
• Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
• każda wielokrotność $k\cdot A$ macierzy nilpotentnej $A$ też jest nilpotentna. Każda potęga $A^k$ macierzy nilpotentnej $A$ też jest nilpotentna

Postać Jordana

Niech N_k będzie macierzą kwadratową stopnia k postaci:

$N_k = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{bmatrix}.$

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności $N_1 = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}, N_2= \begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 &0 \end{bmatrix}$

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

$\begin{bmatrix} N_{k_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & N_{k_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & N_{k_r} \end{bmatrix}$

dla pewnych $k_1, k_2, \dots, k_r$.

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała.

Zobacz też

• nilpotentność
• macierz idempotentna
• mnożenie macierzy