Macierz schodkowa

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz schodkowa – macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych, w szczególności metody Gaussa.

Redukcja

Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która spełnia następujące warunki:

• jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy (współczynnikiem wiodącym) jest jedynka,
• jeśli wyraz $a_{ij}\,$ znajduje się w tej samej kolumnie, co pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego współczynnika, to $a_{ij}=0\,$.

Przykłady

Poniższe macierze są schodkowe, ostatnia jest zredukowana:

$A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$

$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 5 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} , D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}.$

Rząd macierzy

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków, czyli niezerowych wierszy. Dla powyższych, przykładowych macierzy mamy:

$\operatorname{rz}\ A = 4 ,$

$\operatorname{rz}\ B = 3 ,$

$\operatorname{rz}\ C = 5 ,$

$\operatorname{rz}\ D = 3 .$

Zobacz też

• minor macierzy