Macierz schodkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz schodkowamacierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych, w szczególności metody Gaussa.

Redukcja[edytuj | edytuj kod]

Macierz schodkowa zredukowana to macierz schodkowa, która spełnia następujące warunki:

  • jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy (współczynnikiem wiodącym) jest jedynka,
  • jeśli wyraz a_{ij}\, znajduje się w tej samej kolumnie, co pewien współczynnik wiodący i w wierszu powyżej tego współczynnika, to a_{ij}=0\,.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Poniższe macierze są schodkowe, ostatnia jest zredukowana:


A = 
\begin{bmatrix}
4 & 3 & 0 & -2 \\
0 & 2 & 2 & 7 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}
,

B = 
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 7 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},

C =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 4 & 5 \\
0 & 1 & 5 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
,
D =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}.

Rząd macierzy[edytuj | edytuj kod]

Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków, czyli niezerowych wierszy. Dla powyższych, przykładowych macierzy mamy:

\operatorname{rz}\ A = 4 ,
\operatorname{rz}\ B = 3 ,
\operatorname{rz}\ C = 5 ,
\operatorname{rz}\ D = 3 .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]