Operacje elementarne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Operacje elementarne – w algebrze liniowej blisko powiązane ze sobą przekształcenia układów równań liniowych i macierzy.

Układy równań liniowych[edytuj | edytuj kod]

Następujące operacje elementarne przekształcają dany układ w układ do niego równoważny, czyli układ o tym samym zbiorze rozwiązań co wyjściowy:

  • dodanie do równania innego równania pomnożonego przez liczbę,
  • zamiana dwóch równań miejscami,
  • pomnożenie równania przez liczbę różną od zera (w ogólności: odwracalną).

Jeśli układ \scriptstyle (V) powstaje z układu \scriptstyle (U) w wyniku jednej z powyższych operacji, to także układ \scriptstyle (U) można otrzymać z \scriptstyle (V) za ich pomocą: efekt zamiany dwóch równań miejscami można znieść zamieniając je jeszcze raz, z kolei odwrócenie trzeciej operacji wymaga mnożenia przez odwrotność danej liczby; jeśli \scriptstyle (V) otrzymano z \scriptstyle (U) w wyniku dodania do \scriptstyle i-tego równania \scriptstyle j-tego równania pomnożonego przez ustaloną liczbę, to \scriptstyle (U) otrzymuje się z \scriptstyle (V) poprzez dodanie do \scriptstyle i-tego równania \scriptstyle j-tego równania pomnożonego przez liczbę przeciwną do ustalonej. Dlatego do wykazania równoważności układów wystarczy wykazanie, że ciąg \scriptstyle s_i będący rozwiązaniem układu \scriptstyle (U) jest również rozwiązaniem \scriptstyle (V). Ponieważ dowolne równanie \scriptstyle (V) jest postaci \scriptstyle aU_i + bU_j, gdzie \scriptstyle U_i, U_j są równaniami układu \scriptstyle U, zaś \scriptstyle a, b są dowolnymi liczbami, to każde rozwiązanie \scriptstyle s_i spełniające równania \scriptstyle U_i, U_j spełnia również \scriptstyle aU_i + bU_j.

Macierze[edytuj | edytuj kod]

\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & c & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{bmatrix}
Postać macierzy \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c).
\begin{bmatrix} \begin{smallmatrix} \begin{smallmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 \end{smallmatrix} & & & & \\ & 0 & \dots & 1 & \\ & \vdots & \begin{smallmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 \end{smallmatrix} & \vdots & \\ & 1 & \dots & 0 & \\ & & & & \begin{smallmatrix} 1 & & \\ & \ddots & \\ & & 1 \end{smallmatrix} \end{smallmatrix} \end{bmatrix}
Postać macierzy \scriptstyle \mathbf T_{ij}.
\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & c & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}.
Postać macierzy \scriptstyle \mathbf I_i(c).

Powyższym trzem operacjom elementarnym na układzie równań liniowych odpowiadają w zapisie macierzowym operacje elementarne na wierszach macierzy:

  • dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę,
  • zamiana miejscami dwóch wierszy,
  • pomnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera (w ogólności: element odwracalny).

Analogicznie definiuje się operacje elementarne na kolumnach.

Operacjom elementarnym na ustalonej macierzy \scriptstyle \mathbf A stopnia \scriptstyle n odpowiadają macierze konkretnej postaci, nazywane macierzami elementarnymi – każdą z tych macierzy można uzyskać poprzez wykonanie operacji elementarnej na macierzy jednostkowej. Mnożenie macierzy \scriptstyle \mathbf A z lewej strony przez macierz elementarną odpowiada wykonaniu operacji elementarnej na wierszach \scriptstyle \mathbf A, z kolei mnożenie prawostronne daje w wyniku macierz powstałą po wykonaniu operacji elementarnej na jej kolumnach. W ten sposób poszczególnym operacjom odpowiadają

  • macierz \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c) = [e_{rs}], gdzie
    e_{rs} = \begin{cases} c, & \mbox{dla } r = i, s = j, \\ 1, & \mbox{dla } r = s, \\ 0, & \mbox{wpp.}; \end{cases}
  • macierz \scriptstyle \mathbf T_{ij} = [t_{rs}], gdzie
    t_{rs} = \begin{cases} 1, & \mbox{dla } r = s \ne i, j \mbox{ lub } r = i, s = j \mbox{ lub } r = j, s = i, \\ 0, & \mbox{wpp.}; \end{cases}
  • macierz \scriptstyle \mathbf I_i(c) = [i_{rs}], gdzie
    i_{rs} = \begin{cases} c, & \mbox{dla } r = s = i, \\ 1, & \mbox{dla } r = s \ne i, \\ 0, & \mbox{wpp.} \end{cases}

Przykładowe macierze elementarne dla operacji elementarnych na macierzach czwartego stopnia przy mnożeniu lewostronnym (działania na wierszach) – pomnożenie trzeciego wiersza przez \scriptstyle -2 i dodanie do drugiego (macierz \scriptstyle \mathbf E_{23}(-2)), zamiana miejscami pierwszego i drugiego wiersza (macierz \scriptstyle \mathbf T_{12}), pomnożenie trzeciego wiersza przez \scriptstyle 4 (macierz \scriptstyle \mathbf I_3(4)):

\mathbf E_{23}(-2) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}; \quad \mathbf T_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}; \quad \mathbf I_3(4) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

Dla każdej z tych macierzy istnieje macierz odwrotna odwracająca działanie danej operacji elementarnej, są to odpowiednio:

macierz \scriptstyle \mathbf E_{ij}(-c) dla macierzy \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c),
macierz \scriptstyle \mathbf T_{ij} dla macierzy \scriptstyle \mathbf T_{ij},
macierz \scriptstyle \mathbf I_i(1/c) dla macierzy \scriptstyle \mathbf I_i(c).

Istnieją trzy rodzaje kwadratowych macierzy elementarnych: macierz permutacji, macierz diagonalna, macierz unipotentna. Niekiedy zamiast oznaczeń \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c),\,\mathbf T_{ij},\,\mathbf I_i(c) stosuje się bardziej zunifikowane symbole, odpowiednio \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c),\,\mathbf E_{ij},\,\mathbf E_i(c).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Operacje elementarne na wierszach nie zmieniają jądra macierzy (co oznacza, że nie zmieniają zbioru rozwiązań opisywanego przez nią układu), zatem zachowują jej rząd wierszowy ale zmieniają jej obraz. Dualnie operacje elementarne na kolumnach zachowują obraz, czyli zachowują rząd kolumnowy, ale zmieniają jądro macierzy. Istota tych operacji tkwi w tym, że generują one pełną grupę liniową macierzy odwracalnych.

Każdą macierz \scriptstyle \mathbf A można przekształcić do postaci schodkowej mnożąc ją przez iloczyn macierzy elementarnych \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c), \mathbf T_{ij} (tzn. za pomocą pierwszych dwóch operacji elementarnych) oraz do postaci schodkowej zredukowanej mnożąc ją przez iloczyn macierzy elementarnych \scriptstyle \mathbf E_{ij}(c), \mathbf T_{ij}, \mathbf I_i(c) (tzn. za pomocą wszystkich operacji elementarnych) – mnożenie macierzy odpowiada przyłożeniu i składaniu operacji. Spostrzeżenia te wykorzystuje się w metodzie eliminacji Gaussa i jej rozwinięciu – metodzie eliminacji Gaussa-Jordana.

Ponieważ rzędy wierszowy i kolumnowy są sobie równe, to w ogólności operacje elementarne zachowują rząd macierzy – jego wyznaczenie polega częstokroć na sprowadzeniu macierzy do dogodnej postaci (zwykle schodkowej bądź schodkowej zredukowanej), z której odczytanie rzędu nie nastręcza trudności.

W przypadku macierzy kwadratowych operacje elementarne na macierzy można wykorzystać do przyspieszenia obliczania wyznaczników (poprzez wygenerowanie dużej liczby zer w rozwinięciu Laplace'a). Ponieważ

\det \mathbf E_{ij}(c) = 1, \quad \det \mathbf T_{ij} = -1, \quad \det \mathbf I_i(c) = c,

to na podstawie twierdzenia Cauchy'ego dla dowolnej zgodnej macierzy \scriptstyle \mathbf A:

  • dodanie do dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny pomnożonej przez liczbę nie zmienia wyznacznika,
    \det \mathbf E_{ij}(c) \mathbf A = \det \mathbf A\mathbf E_{ij}(c) = \det \mathbf A,
  • zamiana miejscami dwóch wierszy/kolumn zmienia znak wyznacznika na przeciwny,
    \det \mathbf T_{ij}\mathbf A = \det \mathbf A\mathbf T_{ij} = -\det \mathbf A,
  • pomnożenie dowolnego wiersza/kolumny przez liczbę różną od zera (element odwracalny) mnoży wyznacznik przez tę liczbę,
    \det \mathbf I_i(c)\mathbf A = \det \mathbf A\mathbf I_i(c) = c \det \mathbf A.