Macierz antysymetryczna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz antysymetryczna – macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [a_ij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

$a_{ij} = -a_{ji},$

to znaczy

$A^{\mathrm T} = -A.$

Macierze, dla których dodatkowo wszystkie wyrazy na przekątnej głównej są równe zeru nazywa się alternującymi.

Własności

• Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
• Dla macierzy kwadratowej A macierz A - A^T jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia n rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli A jest dowolną macierzą kwadratową stopnia n, to

  $A = \tfrac{1}{2}\left(A + A^{\mathrm T}\right) + \tfrac{1}{2}\left( A - A^{\mathrm T}\right),$

przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.

• Wszystkie wartości własne symetrycznej macierzy rzeczywistej są urojone.
• Jeśli A jest macierzą antysymetryczną stopnia n, to jej wyznacznik jest równy

  $\det A = \det A^{\mathrm T} = \det -A= (-1)^n \det A.$

W szczególności, jeżeli n jest nieparzyste, to det A = 0 (dla macirzy o wyrazachz z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli n jest parzyste, to det A można zapisać w postaci (Pf A)², gdzie Pf A oznacza pfaffian macierzy A.

Przykłady

Pierwsza z macierzy jest symetryczna i alternująca, lecz nie antysymetryczna; druga z nich jest antysymetryczna i alternująca, ale nie symetryczna:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & 7 & -2 \\ -7 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Zobacz też

• macierz symetryczna
• macierz hermitowska
• forma dwuliniowa