Macierz antysymetryczna

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna) – macierz kwadratowa $A = [a_{ij}]\$ stopnia $n\$ spełniająca warunek:

$A^T = -A\$

albo, równoważnie

$a_{ij} = -a_{ji}\$

dla dowolnych indeksów $i, j = 1, \dots, n\$.

Przykład

Macierz $A = \begin{bmatrix} 0 & 7 & -2 \\ -7 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ jest macierzą antysymetryczną.

Własności

• Wszystkie elementy głównej przekątnej dowolnej macierzy antysymetrycznej są równe zeru, ponieważ z definicji $a_{ii} = -a_{ii}\$ dla $i = 1, \cdots, n\$.

• Dla wyznacznika macierzy antysymetrycznej $A\$ mamy:

$\det A = \det A^T = \det (-A) = (-1)^n \cdot \det A\$

W szczególności, jeżeli $n\$ jest liczbą nieparzystą, wyznacznik takiej macierzy jest równy $0$. Fakt ten nazywa się czasem twierdzeniem Jacobiego.

• Macierz antysymetryczna jest równa antysymetryzacji tej macierzy.

Zobacz też

• macierz transponowana
• macierz symetryczna