Macierz antysymetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz antysymetryczna (skośnie symetryczna)macierz kwadratowa, której wyrazy położone symetrycznie względem głównej przekątnej są przeciwnych znaków; innymi słowy, macierz kwadratowa A = [aij] jest antysymetryczna, gdy jej wyrazy spełniają warunek

a_{ij} = -a_{ji},

to znaczy

A^{\mathrm T} = -A.

Macierze, dla których dodatkowo wszystkie wyrazy na przekątnej głównej są równe zeru nazywa się alternującymi.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Kombinacja liniowa macierzy antysymetrycznych oraz macierz odwrotna do odwracalnej macierzy antysymetrycznej są macierzami antysymetrycznymi; iloczyn macierzy antysymetrycznych na ogół nie jest antysymetryczny.
  • Dla macierzy kwadratowej A macierz A - AT jest antysymetryczna; więcej, przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia n rozkłada się na sumę prostą przestrzeni kwadratowych macierzy symetrycznych i antysymetrycznych: jeżeli A jest dowolną macierzą kwadratową stopnia n, to
    A = \tfrac{1}{2}\left(A + A^{\mathrm T}\right) + \tfrac{1}{2}\left( A - A^{\mathrm T}\right),
przy czym pierwszy składnik jest macierzą symetryczną, a drugi – antysymetryczną.
W szczególności, jeżeli n jest nieparzyste, to det A = 0 (dla macirzy o wyrazachz z ciała charakterystyki różnej od 2) – wynik ten znany jest jako twierdzenie Jacobiego (nazywany nazwiskiem Carla Jacobiego). Jeśli n jest parzyste, to det A można zapisać w postaci (Pf A)2, gdzie Pf A oznacza pfaffian macierzy A.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Pierwsza z macierzy jest symetryczna, lecz nie antysymetryczna; druga z nich jest antysymetryczna i alternująca, ale nie symetryczna:

\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & 7 & -2 \\ -7 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]