Dopełnienie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Dopełnienie algebraiczne - w algebrze liniowej dopełnienie algebraiczne elementu \scriptstyle a_{ij} danej macierzy kwadratowej A\; stopnia \scriptstyle n jest to iloczyn \scriptstyle (-1)^{i+j} oraz minora \scriptstyle M_{ij} czyli wyznacznika podmacierzy stopnia \scriptstyle n-1 powstałego z usunięcia \scriptstyle i-tego wiersza oraz \scriptstyle j-ej kolumny macierzy A\;.

Dopełnienie algebraiczne elementu a_{ij}\; macierzy A\; oznacza się często symbolem A_{ij}\;, a macierz

\begin{bmatrix}
    A_{11}  & A_{12} & \cdots &   A_{1n}   \\
    A_{21}  & A_{22} & \cdots &   A_{2n}   \\
  \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
    A_{n1}  & A_{n2} & \cdots &  A_{nn}
\end{bmatrix},

złożoną z dopełnień algebraicznych (oznaczaną [A_{ij}]\;), nazywa się macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A\;.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Dana jest macierz:

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -3\end{bmatrix}

Dopełnienia algebraiczne elementów a_{11} oraz a_{23} tej macierzy wynoszą, odpowiednio:

A_{{\color{red} 1}{\color{blue} 1}} = (-1)^{{\color{red} 1} + {\color{blue} 1}} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -1
A_{{\color{OliveGreen} 2}{\color{Brown} 3}} =  (-1)^{{\color{OliveGreen} 2}+{\color{Brown} 3}} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]