Ciąg (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Ciąg kompozycyjny)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciąg – jedno z kilku powiązanych pojęć teorii grup pomocne przy badaniu struktury danej grupy; zwykle przez „ciąg” rozumie się opisany dalej ciąg podnormalny. W ogólności ciągiem podgrup danej grupy nazywa się po prostu łańcuch jej podgrup; ciągi podgrup są przypadkiem szczególnym filtracji znanej z algebry abstrakcyjnej.

Definicje[edytuj]

Niech czyli będzie podgrupą w grupie Skończony ciąg podgrup grupy włączając w to oraz nazywa się ciągiem (podnormalnym) od do (lub między a ), jeżeli każda grupa w ciągu jest podgrupą normalną poprzedniej, tzn.

Podgrupy nazywa się wyrazami ciągu Grupy ilorazowe nazywa się ilorazami (lub faktorami) ciągu Ciąg od podgrupy trywialnej do podgrupy niewłaściwej nazywa się krótko ciągiem grupy Liczbę wyrazów ciągu nazywa się jego długością.

Jeżeli każdy z wyrazów ciągu jest normalny w to ciąg również nazywa się ciągiem normalnym; zastępując normalność warunkiem charakterystyczności otrzymuje się definicję ciągu charakterystycznego.

W ciągu mogą istnieć powtórzenia; jeżeli jednak dla każdego to ciąg nazywa się ciągiem właściwym. Ciąg

od do nazywa się zagęszczeniem (lub rozdrobnieniem) ciągu jeżeli każdy wyraz ciągu jest również wyrazem ciągu Rozdrobnienie ciągu otrzymuje się więc z poprzez wstawienie dodatkowych grupy między pewne kolejne wyrazy tego ciągu, przy czym nie muszą być one różne od wyrazów [a]. Jeżeli jednak jest zagęszczeniem i przynajmniej jeden z wyrazów nie jest wyrazem to nazywa się zagęszczeniem właściwym ciągu

Ciąg kompozycyjny[edytuj]

Ciąg grupy nazywa się ciągiem kompozycyjnym jeżeli jest on ciągiem właściwym bez zagęszczenia właściwego. Ilorazy (faktory) ciągu kompozycyjnego nazywa się ilorazami (faktorami) grupy Ciąg

grupy jest ciągiem kompozycyjnym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ilorazy () są proste[b].

Równoważność[edytuj]

Niech będzie grupą. Dwa ciągi

oraz

grupy nazywa się równoważnymi, jeżeli oraz ilorazy są, w pewnym porządku, izomorficzne do ilorazów ().

Uwaga
W powyższej definicji nie żąda się, by dla wszystkich warunek mówi jedynie, że dla pewnej permutacji Wprowadza ona ponadto relację równoważności w zbiorze wszystkich ciągów

Dowolne dwa ciągi kompozycyjne grupy są równoważne, o ile tylko grupa ma ciąg kompozycyjny, o czym mówi twierdzenie Jordana-Höldera; w istocie zachodzi dużo mocniejsze twierdzenie Schreiera zapewniające, że dowolne dwa ciągi grupy mają równoważne zagęszczenia.

Ciąg abelowy[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa rozwiązalna.

Ciąg

od do nazywa się ciągiem abelowym, jeżeli wszystkie jego ilorazy grupami abelowymi (przemiennymi). Grupy, które mają ciąg abelowy, nazywa się rozwiązalnymi.

Ciąg centralny[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa nilpotentna.

Ciąg

od do nazywa się ciągiem centralnym, jeżeli wszystkie jego ilorazy podgrupami centralnymi, tzn. (dla gdzie oznacza komutant). Grupy, które mają ciąg centralny, nazywa się nilpotentnymi.

Ponieważ to w szczególności jest normalna w dlatego równoważnie warunek centralności można zastąpić wymaganiem, by ilorazy były przemienne ze wszystkimi ilorazami ().

Przykłady[edytuj]

Literą oznaczana będzie niżej podgrupa trywialna odpowiedniej grupy.

  • jest ciągiem grupy symetrycznej a jest zagęszczeniem (zawierającym grupę alternującą ), które jest zarazem ciągiem kompozycyjnym ponieważ ilorazy oraz są proste (w pierwszym przypadku: grupa przemienna jest prosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest cykliczna i rzędu będącego liczbą pierwszą; w drugim: z powyższej charakteryzacji). Jest to w istocie jedyny ciąg kompozycyjny tej grupy.
  • jest ciągiem normalnym grupy Nie jest on jednak ciągiem kompozycyjnym ponieważ można go zagęścić wstawiając jedną z podgrup lub bądź między a (zob. grupa czwórkowa Kleina). Każdy z trzech ciągów jest ciągiem kompozycyjnym (), przy czym są to wszystkie ciągi kompozycyjne tej grupy.
  • Nie każda grupa ma ciąg kompozycyjny, przykładem jest Istotnie, dowolny ciąg ma postać
gdzie Jeśli jest wielokrotnością oraz to
jest właściwym zagęszczeniem (symbol oznacza tu podgrupę trywialną). Wówczas dowolny ciąg ma zagęszczenie właściwe. Dlatego żaden ciąg nie może być ciągiem kompozycyjnym tej grupy.
  • Niech będzie grupą cykliczną rzędu 12. Wtedy
są ciągami kompozycyjnymi (przy czym jest podgrupą trywialną). Ilorazy kompozycyjne są izomorficzne odpowiednio z Zatem, nie biorąc pod uwagę kolejności, ilorazy kompozycyjne powstające z różnych ciągów kompozycyjnych są grupami izomorficznymi – ciągi te są zatem równoważne.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1987.

Uwagi

  1. Przykładowo jest zagęszczeniem
  2. Niech dany ciąg będzie ciągiem kompozycyjnym Z definicji jest to ciąg właściwy. Dlatego i wszystkie ilorazy są różne od grupy trywialnej (). Jeśli jeden z ilorazów, np. nie byłby prosty, to miałoby nietrywialną właściwą podgrupę normalną, którą można zapisać jako gdzie (na podstawie charakteryzacji podgrup grupy ilorazowej). Dlatego (w istocie ) i dany ciąg ma właściwe zagęszczenie uzyskane poprzez wstawienie między a wbrew założeniu, że ciąg jest kompozycyjny. Zatem wszystkie są proste ().
    Odwrotnie: niech wszystkie ilorazy będą proste (). Wtedy są nietrywialne i dla wszystkich Zatem dany ciąg jest właściwy. Jeśli nie byłby to ciąg kompozycyjny, to miałby on zagęszczenie właściwe. Dla ustalenia uwagi można założyć, że takie zagęszczenie ma wyraz między a czyli Zgodnie z charakteryzacją podgrup grupy ilorazowej byłoby nietrywialną właściwą podgrupą normalną w wbrew założeniu, że wszystkie ilorazy, w tym są proste. Zatem dany ciąg musi być kompozycyjny.