Przejdź do zawartości

Przestrzeń Baire’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Przestrzeń Baire’a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a.

Własność przestrzeni topologicznych

[edytuj | edytuj kod]

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że jest przestrzenią Baire’a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów jest gęstym podzbiorem

Niektórzy autorzy używają zwrotu ma własność Baire’a (zamiast „ jest przestrzenią Baire’a”). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire’a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady

[edytuj | edytuj kod]
  • Prosta rzeczywista i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire’a.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią Baire’a.
  • Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire’a.
  • Przestrzeń z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire’a (bo dla dowolnego jej podzbioru domkniętego brzegowego zbiór jest domknięty brzegowy w która jest przestrzenią Baire’a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

  • jest przestrzenią Baire’a,
  • żaden otwarty niepusty podzbiór nie jest pierwszej kategorii,
  • wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
  • dla każdych domkniętych zbiorów jeśli to dla pewnego

Szczególna przestrzeń topologiczna

[edytuj | edytuj kod]

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Nazwa przestrzeń Baire’a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z w Zbiór ten może być traktowany jako produkt przeliczalnie wielu kopii zbioru Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze możemy wprowadzić topologię produktową Przestrzeń topologiczna jest nazywana przestrzenią Baire’a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire’a jest często oznaczana przez (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire’a jest oznaczana przez To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie

[edytuj | edytuj kod]
  • Przestrzeń Baire’a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych kładziemy Definiujemy
jeśli oraz w przeciwnym wypadku.
Łatwo można sprawdzić, że jest metryką zupełną na zbiorze generującą topologię
  • jest homeomorficzne z I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni jest homeomorficzny z
  • Przestrzeń jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni ).
  • Przestrzeń jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
  • W dodatku do struktury topologicznej, ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację na przez
wtedy i tylko wtedy gdy
Wówczas jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej Np. liczba dominująca występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]