Wielościan foremny

Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, w którym:

wszystkie ściany są przystające i foremne;
wszystkie kąty wielościenne są równe^[1].

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Przypadek trójwymiarowowy

Lista

Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Nazwa	Nazwa grecka	Ściana	Liczba ścian	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Kąt dwuścienny
czworościan	tetraedr	trójkąt foremny (równoboczny)	4	6	4	$\arcsin {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 70{,}529^{\circ }$
sześcian	heksaedr	czworokąt foremny (kwadrat)	6	12	8	$90^{\circ }.$
ośmiościan	oktaedr	trójkąt foremny (równoboczny)	8	12	6	$2\arcsin {\frac {\sqrt {6}}{3}}\approx 109{,}471^{\circ }$
dwunastościan	dodekaedr	pięciokąt foremny	12	30	20	$\arccos {(}{-}{\frac {\sqrt {5}}{5}}{)}\approx 116{,}565^{\circ }$
dwudziestościan	ikosaedr	trójkąt foremny (równoboczny)	20	30	12	$\arccos {(}{-}{\frac {\sqrt {5}}{3}}{)}\approx 138{,}189^{\circ }$

Dowody zupełności listy

Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

ściana	kąt wewnętrzny ściany	liczba ścian przy wierzchołku ≥3	wielokrotność kąta <360°	nazwa	uwagi
trójkąt	60°	3	180°	czworościan foremny
		4	240°	ośmiościan foremny
		5	300°	dwudziestościan foremny	ostatni z tej serii, bo 6·60°≥360°
kwadrat	90°	3	270°	sześcian	jedyny z tej serii, bo 4·90°≥360°
pięciokąt	108°	3	324°	dwunastościan foremny	jedyny z tej serii, bo 4·108°≥360°
sześciokąt i następne	≥120°	3	≥360°	–	żaden z tej i następnych serii, bo 3·120°≥360°

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:

W+S=K+2,

gdzie $W$ oznacza liczbę wierzchołków wielościanu, $S$ liczbę jego ścian, a $K$ liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy

S\cdot n=2K.

Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi $l$ krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem

W\cdot l=2K.

Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności $W$ i $S$

W={\frac {2K}{l}};S={\frac {2K}{n}}

i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy

{\frac {2K}{l}}+{\frac {2K}{n}}=K+2.

Przekształcając otrzymamy kolejno

{\frac {1}{l}}+{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{K}}>{\frac {1}{2}},

oraz

(n-2)(l-2)<4.

Ponieważ $l\geqslant 3$ oraz $n\geqslant 3,$ przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

$(n-2)\cdot (l-2)$	$n$	$l$	nazwa
1·1	3	3	czworościan foremny
2·1	4	3	sześcian
1·2	3	4	ośmiościan foremny
1·3	3	5	dwudziestościan foremny
3·1	5	3	dwunastościan foremny

Oczywiście znając $n,l$ można wyznaczyć $W,K,S,$ korzystając ze wzoru Eulera i zależności $S\cdot n=2K$ oraz $W\cdot l=2K.$

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie $n$ i $l.$

Historia

Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby. Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa^[a] (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata^[2].

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn^[b]. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Uogólnienie na wielokomórki foremne

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej, oznaczanej $\mathbb {R} ^{n}$ .

Przestrzeń czterowymiarowa

Udowodniono, że dla n=4 , że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Nazwa	Liczba ścian trójwymiarowych (brył foremnych)	Liczba ścian dwuwymiarowych (wielokątów foremnych)	Liczba krawędzi	Liczba wierzchołków	Wielokomórka dualna
foremna 5-komórka (4-wymiarowy sympleks)	5 czworościanów	10 trójkątów	10	5	samodualna
foremna 8-komórka (4-wymiarowy hipersześcian)	8 sześcianów	24 kwadratów	32	16	16-komórka
foremna 16-komórka	16 czworościanów	32 trójkątów	24	8	8-komórka
foremna 24-komórka	24 ośmiościanów	96 trójkątów	96	24	samodualna
foremna 120-komórka	120 dwunastościanów	720 pięciokątów	1200	600	600-komórka
foremna 600-komórka	600 czworościanów	1200 trójkątów	720	120	120-komórka

Wyższe wymiary

Dla dowolnego naturalnego $n>4$ udowodniono, że w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne^[3]:

Nazwa	Liczba (n-1)-wymiarowych ścian	Liczba k-wymiarowych ścian, 0≤k≤n-1	Wielokomórka dualna
n-wymiarowy sympleks foremny	$n+1$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	$n+1 \choose k+1$ k-wymiarowych sympleksów	samodualna
n-wymiarowy hipersześcian	$2n$ (n-1)-wymiarowych hipersześcianów	${n \choose k}2^{n-k}$ k-wymiarowych hipersześcianów	2ⁿ-komórka
n-wymiarowa 2ⁿ-komórka foremna	$2^{n}$ (n-1)-wymiarowych sympleksów	${n \choose k+1}2^{k+1}$ k-wymiarowych sympleksów	hipersześcian

Ponadto, uogólnione objętości i powierzchnie powyższych trzech wielokomórek foremnych to funkcje holomorficzne wymiaru zespolonego $n\in \mathbb {C}$ . Wielokomórki te są zatem zdefiniowane w każdym wymiarze^[4].

Można też rozpatrywać przypadki $n<3.$ „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego $\ell \geqslant 3$ istnieje $\ell$ -kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.

Zobacz też

węglowodory platońskie

Uwagi

↑ Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych.
↑ W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.

Przypisy

↑ wielościan foremny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
↑ Matematyka dla humanistów – Michał Szurek.
↑ Mathematical puzzles and diversions – Martin Gardner.
↑ SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .

Linki zewnętrzne

Grażyna Kiełczykowska, Bryły platońskie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2024-05-20].
KarolK. Gryszka KarolK., Czego jeszcze nie wiedzieliśmy o bryłach platońskich?, „Delta”, czerwiec 2020, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-02] .
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Platonic Solid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-18].

[2] Teajtet bardziej jest znany z odkrycia ułamków łańcuchowych.

[4] W czasach Keplera ostatnią znaną planetą był Saturn. Przyjmowane przez Keplera promienie orbit nie były zbyt dokładne.

[epwn-1] wielościan foremny, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .

[3] Matematyka dla humanistów – Michał Szurek.

[5] Mathematical puzzles and diversions – Martin Gardner.

[Omnidimensional_2023-6] SzymonS. Łukaszyk SzymonS., Omnidimensional Convex Polytopes, t. 15, Symmetry, 2023, s. 755, DOI: 10.3390/sym15030755 .

[1]

[a]

[2]

[b]

[3]

[4]