Całka Pettisa

Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalnść w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka McShane’a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.

Definicja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $X$ będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną $X^{*}.$ O funkcji $f\colon \Omega \to X$ mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru $A\in {\mathcal {A}}$ oraz wszelkich funkcjonałów $x^{*}\in X^{*}$ istnieje taki element $x_{A}$ przestrzeni $X,$ że

$\langle x^{*},x_{A}\rangle =\int _{A}\langle x^{*},f(t)\rangle \mu ({\mbox{d}}\,t).$

Punkt $x_{A},$ we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji $f$ na zbiorze $A$ względem miary $\mu$ i oznaczany symbolem

$x_{A}=(P)\int _{A}f{\mbox{d}}\mu .$

Każda funkcja $f$ całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego $x^{*}\in X^{*}$ funkcja

$x^{*}\circ f$

jest mierzalna w ciele skalarów.

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią Banacha, funkcja

${\mathcal {A}}\ni A\mapsto (P)\int _{A}f{\mbox{d}}\mu$

jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji $f.$

W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.

Przykłady

Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.

Niech $X$ będzie przestrzenią Hilberta oraz $\{e_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}$ będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja $f\colon [0,\infty )\to X$ dana wzorem

$f(t)={\frac {1}{n}}e_{n},\,t\in [n,n+1),\,n\in \mathbb {N}$

jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue’a natomiast

$\int _{0}^{\infty }\|f(t)\|dt=\infty .$

Przykład funkcji niecałkowalnej

Funkcja $f\colon [0,1]\to c_{0},$ dana wzorem

$f(t)=\left(n\cdot \mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\right)_{n\in \mathbb {N} }$

nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech $x^{*}\in c_{0}^{*}$ oraz niech $y=(t_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni $\ell ^{1}$ (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni $c_{0}$).

$\int _{0}^{1}|x^{*}f(t)|dt=\int _{0}^{1}\left|\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}n\mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\right|\,dt\leqslant \int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|n\mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|n\cdot {\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty .$

Gdyby istniała całka $(P)\int _{0}^{1}f(t)\,dt=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in c_{0},$ to

$x_{n}=\int _{0}^{1}x_{n}^{*}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}n\cdot \mathbf {1} _{(0,{\tfrac {1}{n}}]}(t)\,dt=1,\,n\in \mathbb {N} ,$

gdzie $x_{n}^{*}\in c_{0}^{*}$ przyporządkowuje elementowi przestrzeni $c_{0}$ jego $n$-ty wyraz.

Pettis Integral Property

Niech $\mu$ będzie miarą skończoną na przestrzeni $\Omega .$ Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność $\mu$-PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i $\mu$-p.w. słabo ograniczona $f\colon \Omega \to X$ jest całkowalna w sensie Pettisa względem $\mu .$ W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue’a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność $\mu$-PIP dla każdej miary skończonej $\mu .$

Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej $\omega _{1}+1=[0,\omega _{1}],$ gdzie $\omega _{1}$ oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności $\mu$-PIP dla pewnej miary Baire’a na σ-algebrze swoich podzbiorów mających własność Baire’a w sensie słabej topologii. Istnieją przestrzenie $X$ (np. tzw. długa przestrzeń Jamesa) takie, że $X$ i $X^{*}$ mają własność Radona-Nikodýma (RNP), ale one same nie mają własności PIP. Pod założeniem hipotezy continuum (CH) albo negacji CH i aksjomatu Martina długa przestrzeń Jamesa nie ma własności Lebesgue-PIP.

• Jeżeli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP.
• Jeżeli $\nu$ jest miarą, która nie jest ośrodkowa, to przestrzeń $L^{\infty }(\nu )$ ze słabą topologią nie jest przestrzenią Hewitta. Oznacza to, że istnieje miara $\mu$ o wartościach tylko 0 lub 1 dla której $L^{\infty }(\nu )$ nie ma własności $\mu$-PIP.

Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz $X$ będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni ${\mathcal {P}}(\mu ,X)$ wszystkich funkcji (klas równoważności $\mu$-p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa $f\colon \Omega \to X,$ funkcjonał określony wzorem

$\|f\|=\sup \left\{\int _{\Omega }|x^{*}f(t)|\,\mu (dt)\colon \,x^{*}\in X^{*},\,\|x^{*}\|\leqslant 1\right\}$

jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli $f\in {\mathcal {P}}(\mu ,X),$ to

$\left\|(P)\int _{\Omega }f\,d\mu \right\|\leqslant \|f\|.$

W przypadku, gdy $X$ jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to ${\mathcal {P}}(\mu ,X)$ nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).

Zobacz też

• całka względem miary wektorowej
• własność Dunforda-Pettisa

Bibliografia

• J.K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełny tekst
• J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
• I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
• K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
• K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
• M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)