Całka Pettisa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalnść w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka MacShane'a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (\Omega, \mathcal{A}, \mu) będzie przestrzenią z miarą oraz niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną X*. O funkcji f: ΩX mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru A\in \mathcal{A} oraz wszelkich funkcjonałów x* ∈ X* istnieje taki element xA przestrzeni X, że

\langle x^*, x_A\rangle =\int_A\langle x^*, f(t)\rangle \mu(\mbox{d}\,t).

Punkt xA, we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji f na zbiorze A względem miary μ i oznaczany symbolem

x_A=(P)\int_A f \mbox{d}\mu\,.

Każda funkcja f całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego x* ∈ X* funkcja

x^*\circ f

jest mierzalna w ciele skalarów.

W przypadku, gdy X jest przestrzenią Banacha, funkcja

\mathcal{A}\ni A\mapsto (P)\int_A f \mbox{d}\mu

jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji f.

W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.

Niech X będzie przestrzenią Hilberta oraz \{e_n\colon\, n\in \mathbb{N}\} będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja f\colon [0,\infty)\to X dana wzorem

f(t)=\frac{1}{n}e_n,\, t\in [n, n+1),\, n\in\mathbb{N}

jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue'a natomiast

\int_0^\infty \|f(t)\|dt=\infty.

Przykład funkcji niecałkowalnej

Funkcja f\colon [0,1]\to c_0, dana wzorem

f(t)=\left(n\cdot \mathbf{1}_{(0,\tfrac{1}{n}]}(t)\right)_{n\in \mathbb{N}}

nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech x^*\in c_0^* oraz niech y=(t_n)_{n\in \mathbb{N}} będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni \ell^1 (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni c0).

\int_0^1|x^*f(t)|dt=\int_0^1\left|\sum_{n=1}^\infty t_n n \mathbf{1}_{(0,\tfrac{1}{n}]}(t)\right|\,dt\leq \int_0^1\sum_{n=1}^\infty |t_n| n \mathbf{1}_{(0, \tfrac{1}{n}]}(t)\,dt=\sum_{n=1}^\infty |t_n|n\cdot \frac{1}{n}=\sum_{n=1}^\infty |t_n|<\infty.

Gdyby istniała całka (P)\int_0^1 f(t)\,dt=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\in c_0, to

x_n=\int_0^1 x^*_nf(t)\,dt=\int_0^1 n\cdot \mathbf{1}_{(0, \tfrac{1}{n}]}(t)\,dt=1,\, n\in \mathbb{N},

gdzie x_n^*\in c_0^* przyporządkowuje elementowi przestrzeni c_0 jego n-ty wyraz.

Pettis Integral Property[edytuj | edytuj kod]

Niech \mu będzie miarą skończoną na przestrzeni \Omega. Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność \mu-PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i \mu-p.w. słabo ograniczona f\colon \Omega \to X jest całkowalna w sensie Pettisa względem \mu. W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue'a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność \mu-PIP dla każdej miary skończonej \mu.

Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład, przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej \omega_1+1=[0,\omega_1], gdzie \omega_1 oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności \mu-PIP dla pewnej miary Baire'a na σ-algebrze swoich podzbiorów mających własność Baire'a w sensie słabej topologii[1]. Istnieją przestrzenie X (np. tzw. długa przestrzeń Jamesa) takie, że X i X^* mają własność Radona-Nikodýma (RNP), ale one same nie mają własności PIP[2]. Pod założeniem hipotezy continuum (CH) albo negacji CH i aksjomatu Martina długa przestrzeń Jamesa nie ma własności Lebesgue-PIP.

Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa[edytuj | edytuj kod]

Niech (\Omega, \mathcal{A}, \mu) będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz X będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni \mathcal{P}(\mu, X) wszystkich funkcji (klas równoważności \mu-p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa f\colon \Omega \to X, funkcjonał określony wzorem

\|f\|=\sup\left\{\int_\Omega |x^*f(t)|\,\mu(dt)\colon\, x^*\in X^*,\, \|x^*\|\leqslant 1\right\}

jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli f\in \mathcal{P}(\mu, X), to

\left\|(P)\int_\Omega f\,d\mu\right\|\leqslant \|f\|.

W przypadku, gdy X jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to \mathcal{P}(\mu, X) nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą[6] (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. G.A. Edgar, Measurability in a Banach space I. Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), ss. 663–667.
  2. G.A. Edgar, A long James space, Proceedings of the Conference on Measure Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 794, Springer, Berlin, New York, 1980.
  3. D.H. Fremlin, M. Talagrand, A decomposition theorem for additive set-functions, with applications to Pettis integrals and ergodic means, Math. Z., 168 (1979), ss. 117-142.
  4. R. Frankiewicz, G. Plebanek, Nonaccessible filters in measure algebras and functionals on \scriptstyle{L^\infty(\lambda)^*}. Studia Math. 108 (1994), ss.191-200.
  5. G.A. Edgar, Measurability in a Banach space II, Indiana Univ. Math. J., 28 (1979), ss. 559-579.
  6. L. Drewnowski, M. Florencio and P.J. Paúl, The space of Pettis integrable functions is barrelled. Proc. Amer. Math. Soc. 114 (1992), ss. 687–694.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełen tekst
  • J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
  • I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
  • K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
  • K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
  • M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)