Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

• arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale $\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$. W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left[-1; 1\right]$ (czyli obrazie przedziału $\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ przez funkcję $\operatorname{sin}\,$).
• arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale $\left[0,\pi\right]$. W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left[-1; 1\right]$ (czyli obrazie przedziału $\left[0,\pi\right]$ przez funkcję $\operatorname{cos}\,$).
• arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$ . W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $\mathbb{R}$ (czyli obrazie przedziału $\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)$ przez funkcję $\operatorname{tg}\,$).
• arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale $\left(0, \pi\right)$ . W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $\mathbb{R}$ (czyli obrazie przedziału $\left(0, \pi\right)$ przez funkcję $\operatorname{ctg}$).
• arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale $\left[0, \pi\right]$ . W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $\left[0, \tfrac{\pi}{2}\right)$ , $\left(\tfrac{\pi}{2}, \pi\right]$ , wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$ (czyli obrazie przedziału $\left[0, \pi\right]$ przez funkcję $\operatorname{sec}\,$).
• arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale $\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ . W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $\left[-\tfrac{\pi}{2}, 0\right)$ , $\left(0, \tfrac{\pi}{2}\right]$ , wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$ (czyli obrazie przedziału $\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$ przez funkcję $\operatorname{csc}\,$).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

• $\operatorname{arcsin}\ x = y$ gdy $\operatorname{sin}\ y = x$
• $\operatorname{arccos}\ x = y$ gdy $\operatorname{cos}\ y = x$
• $\operatorname{arctg}\ x = y$ gdy $\operatorname{tg}\ y = x$
• $\operatorname{arcctg}\ x = y$ gdy $\operatorname{ctg}\ y = x$
• $\operatorname{arcsec}\ x = y$ gdy $\operatorname{sec}\ y = x$
• $\operatorname{arccsc}\ x = y$ gdy $\operatorname{csc}\ y = x$

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów nie stawiamy, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

• arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $\left[-1; 1\right]$ , a przeciwdziedziną $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
• arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $\left[-1; 1\right]$ , a przeciwdziedziną $\left[0, \pi\right]$
• arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $\mathbb{R}$ , a przeciwdziedziną $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
• arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $\mathbb{R}$ , a przeciwdziedziną $\left(0, \pi\right)$
• arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: $\left(-\infty, -1\right]$ , $\left[1, +\infty\right)$ . Jej dziedziną jest $\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$ , a przeciwdziedziną $\left[0, \pi\right]\setminus\{\frac{\pi}{2}\}$ .
• arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: $\left(-\infty, -1\right]$ , $\left[1, +\infty\right)$ . Jej dziedziną jest $\left(-\infty, -1\right]\cup\left[1, +\infty\right)$ , a przeciwdziedziną $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\setminus\{0\}$

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi

$\operatorname{arcsin}\ x + \operatorname{arccos}\ x = \frac{\pi}{2}$

$\operatorname{arctg}\ x + \operatorname{arcctg}\ x = \frac{\pi}{2}$

$\operatorname{arcsec}\ x + \operatorname{arccsc}\ x = \frac{\pi}{2}$

Argumenty ujemne:

$\operatorname{arcsin}\ (-x) = -\operatorname{arcsin}\ x$

$\operatorname{arccos}\ (-x) = \pi - \operatorname{arccos}\ x$

$\operatorname{arctg}\ (-x) = -\operatorname{arctg}\ x$

$\operatorname{arcctg}\ (-x) = \pi -\operatorname{arcctg}\ x$

$\operatorname{arcsec}\ (-x) = \pi - \operatorname{arcsec}\ x$

$\operatorname{arccsc}\ (-x) = -\operatorname{arccsc}\ x$

Odwrotności argumentów:

$\operatorname{arcsin}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arccsc}\ x$

$\operatorname{arccos}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcsec}\ x$

$\operatorname{arctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcctg}\ x\ ;\ x > 0$

$\operatorname{arctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcctg}\ x - \pi\ ;\ x < 0$

$\operatorname{arcctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arctg}\ x\ ;\ x > 0$

$\operatorname{arcctg}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arctg}\ x + \pi\ ;\ x < 0$

$\operatorname{arcsec}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arccos}\ x$

$\operatorname{arccsc}\ \frac{1}{x} = \operatorname{arcsin}\ x$

Przykłady

• $\operatorname{arcsin}\ 0 = 0$
• $\operatorname{arcsin}\ 0,5 = \frac{\pi}{6}$
• $\operatorname{arcsin}\ 1 = \frac{\pi}{2}$
• $\operatorname{arccos}\ 0 = \frac{\pi}{2}$
• $\operatorname{arccos}\ 0,5 = \frac{\pi}{3}$
• $\operatorname{arccos}(-1) = \pi$
• $\operatorname{arctg}\ 0 = 0$
• $\operatorname{arctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}$
• $\operatorname{arcctg}\ 0 = \frac{\pi}{2}$
• $\operatorname{arcctg}\ 1 = \frac{\pi}{4}$

Oto wykresy funkcji $y = \operatorname{arcsin}\ x$ , $y = \operatorname{sin}\ x$ oraz prosta $y = x\,$ . Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

Analogicznie, wykresy funkcji $y = \operatorname{arccos}\ x$ , $y = \operatorname{cos}\ x$ są symetryczne względem prostej $y = x\,$ .

Wykresy funkcji $y = \operatorname{arctg}\ x$ , $y = \operatorname{tg}\ x$ są symetryczne względem prostej $y = x\,$ .

Wykresy funkcji $y = \operatorname{arcctg}\ x$ , $y = \operatorname{ctg}\ x$ są symetryczne względem prostej $y = x\,$.